奧數(shù)典型問題解析:平均數(shù)問題
【例1】 暑假期間，小強(qiáng)每天都堅(jiān)持游泳，并對(duì)所游的距離作了記錄.如果他在暑假的最后一天游670米，則平均每天游495米;如果最后一天游778米，則平均每天游498米;如果他想平均每天游500米，那么最后一天應(yīng)游多少米?
分析：因?yàn)槠骄刻焖蔚木嚯x提高 498-495=3米，需要多游778-670=108米，所以暑假一共有108÷3=36天，如果平均每天游500米，則要在最后一天游 (500-498)×36+778=850米。
【例2】 某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽原定一等獎(jiǎng)10人，二等獎(jiǎng)20人，現(xiàn)在將一等獎(jiǎng)中最后4人調(diào)整為二等獎(jiǎng)，這樣得二等獎(jiǎng)的學(xué)生的平均分提高了1分，得一等獎(jiǎng)的學(xué)生的平均分提高了3分，那么原來一等獎(jiǎng)平均分比二等獎(jiǎng)平均分多 分。
分析：
解法一：根據(jù)題意可知：前六人平均分=前十人平均分+3，這說明在計(jì)算前十人平均分時(shí)，前六人共多出3×6=18(分)，來彌補(bǔ)后四人的分?jǐn)?shù)。因此后四人的平均分比前十人平均分少18÷4=4.5分，也就是：后四人平均分=前十人平均分一4.5 。
當(dāng)后四人調(diào)整為二等獎(jiǎng)，這樣二等獎(jiǎng)共有20+4=24(人)，平均每人提高了1分，也就由調(diào)整進(jìn)來的四人來供給，每人平均供給24÷4=6(分)，因此，四人平均分=(原來二等獎(jiǎng)平均分)+6，與前面 式比較，原來一等獎(jiǎng)平均分比原來二等獎(jiǎng)平均分多4.5+6=10.5(分)。
解法二：
圖上橫向的線表示人數(shù)，豎向的線表示分?jǐn)?shù)，紅線表示原來的的一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)，藍(lán)線表示調(diào)整后的'一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)，雖然一、二等獎(jiǎng)的人數(shù)和平均分發(fā)生變化，但一、二等獎(jiǎng)的總分沒有變，也就是說圖上紅線的兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和等于藍(lán)線的兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和，我們觀察圖可以發(fā)現(xiàn)兩塊黃色小長(zhǎng)方形的面積等于藍(lán)色長(zhǎng)方形的面積(10-4)×3+20×1=38，藍(lán)色長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是4，寬就是38÷4=9.5，原一等獎(jiǎng)比二等獎(jiǎng)的平均分高9.5+1=10.5分。
練習(xí)四：
1. 甲班51人，乙班49人，某次考試兩個(gè)班全體同學(xué)的平均成績(jī)是81分，乙班的平均成績(jī)要比甲班平均成績(jī)高7分，那么乙班的平均成績(jī)是______分。
49×7÷(51+49)=3.43分
81+7-3.43=84.57分
2. 某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽原定一等獎(jiǎng)10人，二等獎(jiǎng)20人，現(xiàn)在將二等獎(jiǎng)中前4人調(diào)整為一等獎(jiǎng)，這樣得二等獎(jiǎng)的學(xué)生的平均分下降了1分，得一等獎(jiǎng)的學(xué)生的平均分下降了2分，那么原來一等獎(jiǎng)平均分比二等獎(jiǎng)平均分多 分。
(10×2+20×1)÷4=10分
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