初中奧數(shù)數(shù)論約數(shù)與倍數(shù)知識(shí)點(diǎn)
(1)公約數(shù)和最大公約數(shù)
幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù);其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。
例如：4是12和16的最大公約數(shù)，可記做：(12 ，16)=4
(2)公倍數(shù)和最小公倍數(shù)
幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù);其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如：36是12和18的最小公倍數(shù)，記作[12，18]=36。
(3)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的關(guān)系
如果用a和b表示兩個(gè)自然數(shù)
1、那么這兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是：
(a，b)×[a，b]=a×b。
(多用于求最小公倍數(shù))
2、(a，b) ≤ a ，b ≤ [a，b]
3、[a，b]是(a，b)的.倍數(shù)，(a，b)是[a，b]的約數(shù)
4、(a，b)是a+b 和a-b 的約數(shù)，也是(a，b)+[a，b]和(a，b)-[a，b]的約數(shù)
(4)求最大公約數(shù)的方法很多，主要推薦：短除法、分解質(zhì)因數(shù)法、輾轉(zhuǎn)相除法。
例如：1、(短除法)用一個(gè)數(shù)去除30、60、75，都能整除，這個(gè)數(shù)最大是多少?
解：∵
(30，60，75)=5×3=15
這個(gè)數(shù)最大是15。
2、(分解質(zhì)因數(shù)法)求1001和308的最大公約數(shù)是多少?
解：1001=7×11×13(這個(gè)質(zhì)分解常用到) ， 308=7×11×4
所以最大公約數(shù)是7×11=77
在這種方法中，先將數(shù)進(jìn)行質(zhì)分解，而后取它們“所有共有的質(zhì)因數(shù)之積”便是最大公約數(shù)。
3、(輾轉(zhuǎn)相除法)用輾轉(zhuǎn)相除法求4811和1981的最大公約數(shù)。
解：∵4811=2×1981+849，
1981=2×849+283，
849=3×283，
∴(4811，1981)=283。
補(bǔ)充說明：如果要求三個(gè)或更多的數(shù)的最大公約數(shù)，可以先求其中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，再求這個(gè)公約數(shù)與另外一個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結(jié)果。
(5)約數(shù)個(gè)數(shù)公式
一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)(即指數(shù))加1的連乘的積。
例如：求240的約數(shù)的個(gè)數(shù)。
解：∵240=24×31×51，
∴240的約數(shù)的個(gè)數(shù)是
(4+1)×(1+1)×(1+1)=20，
∴240有20個(gè)約數(shù)。
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