約數(shù)與倍數(shù)的奧數(shù)題
已知x、y為正整數(shù)，且滿足xy-(x+y)=2p+q，其中p、q分別是x與y的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，求所有這樣的數(shù)對(x，y)(x≥y)
考點(diǎn)：約數(shù)與倍數(shù).
分析：此題需分類討論，①當(dāng)x是y的倍數(shù)時，設(shè)x=ky(k是正整數(shù)).解方程k(y-2)=3;②當(dāng)x不是y的倍數(shù)時，令x=ap，y=bp，a，b互質(zhì)，則q=abp.解方程abp-1=(a-1)(b-1)即可.解答：解：①當(dāng)x是y的倍數(shù)時，設(shè)x=ky(k是正整數(shù)).
則由原方程，得
kyy-(ky+y)=2y+ky，
∵y≠0，
∴ky-(k+1)=2+k，
∴k(y-2)=3，
當(dāng)k=1時，x=5，y=5;
當(dāng)k=3時，x=9，y=3;
②當(dāng)x不是y的倍數(shù)時，令x=ap，y=bp，a，b互質(zhì)，則q=abp，代入原式
得：abp2-(ap+bp)=2p+abp，即abp-1=(a-1)(b+1)
當(dāng)p=1時，a+b=2，可求得a=1，b=1，此時不滿足條件;
當(dāng)p>1時，abp≥2ab-1=ab+(ab-1)≥ab>(a-1)(b-1)
此時，abp-1=(a-1)(b+1)不滿足條件;
綜上所述，滿足條件的.數(shù)對有
點(diǎn)評：本題主要考查的是最大公約數(shù)與最小公倍數(shù).由于兩個數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積.即(a，b)×[a，b]=a×b.所以，求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，就可以先求出它們的最大公約數(shù)，然后用上述公式求出它們的最小公倍數(shù).
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