考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)復(fù)習(xí)技巧
對于考研數(shù)學(xué)中的線性代數(shù)這一門有很多的復(fù)習(xí)技巧，掌握這些技巧之后對于提高成績有著很大的幫助。小編為大家精心準(zhǔn)備了考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)復(fù)習(xí)方法，歡迎大家前來閱讀。
考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)復(fù)習(xí)秘訣
一、注重對基本概念的理解與把握，正確熟練運(yùn)用基本方法及基本運(yùn)算。
線性代數(shù)的概念很多，重要的有：代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(jià)(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。
往年常有考生沒有準(zhǔn)確把握住概念的內(nèi)涵，也沒有注意相關(guān)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，導(dǎo)致做題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。例如，矩陣A=(α1，α2，…，αm)與B=(β1，β2…，βm)等價(jià)，意味著經(jīng)過初等變換可由A得到B，要做到這一點(diǎn)，關(guān)鍵是看秩r(A)與r(B)是否相等，而向量組α1，α2，…αm與β1，β2，…βm等價(jià)，說明這兩個(gè)向量組可以互相線性表出，因而它們有相同的秩，但是向量組有相同的秩時(shí)，并不能保證它們必能互相線性表現(xiàn)，也就得不出向量組等價(jià)的信息，因此，由向量組α1，α2，…αm與β1，β2，…βm等價(jià)，可知矩陣A=(α1，α2，…αm)與B=(β1，β2，…βm)等價(jià)，但矩陣A與B等價(jià)并不能保證這兩個(gè)向量組等價(jià)。又如，實(shí)對稱矩陣A與B合同，即存在可逆矩陣C使CTAC=B，要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，關(guān)鍵是二次型xTAx與xTBx的正、負(fù)慣性指數(shù)是否相同，而A與B相似是指有可逆矩陣P使P-1AP=B成立，進(jìn)而知A與B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、負(fù)慣性指數(shù)相同，但正負(fù)慣性指數(shù)相同時(shí)，并不能保證特征值相同，因此，實(shí)對稱矩陣A～B?A?B，即相似是合同的充分條件。
線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過關(guān)，重要的有：行列式(數(shù)字型、字母型)的計(jì)算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法)，判斷與求相似對角矩陣，用正交變換化實(shí)對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形)。
二、注重知識點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，知識要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力。
線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問自己做得對不對?再問做得好不好?只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識融會(huì)貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開闊了。
例如：設(shè)A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，且AB=0，那么用分塊矩陣可知B的列向量都是齊次方程組Ax=0的解，再根據(jù)基礎(chǔ)解系的理論以及矩陣的秩與向量組秩的關(guān)系，可以有r(B)≤n-r(A)即r(A)+r(B)≤n進(jìn)而可求矩陣A或B中的一些參數(shù)。再如，若A是n階矩陣可以相似對角化，那么，用分塊矩陣處理P-1AP=∧可知A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量，P就是由A的線性無關(guān)的特征向量所構(gòu)成，再由特征向量與基礎(chǔ)解系間的聯(lián)系可知此時(shí)若λi是ni重特征值，則齊次方程組(λiE-A)x=0的基礎(chǔ)解系由ni個(gè)解向量組成，進(jìn)而可知秩r(λiE-A)=n-ni，那么，如果A不能相似對角化，則A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)
又比如，對于n階行列式我們知道：若|A|=0，則Ax=0必有非零解，而Ax=b沒有惟一解(可能有無窮多解，也可能無解)，而當(dāng)|A|≠0時(shí)，可用克萊姆法則求Ax=b的惟一解;可用|A|證明矩陣A是否可逆，并在可逆時(shí)通過伴隨矩陣來求A-1;對于n個(gè)n維向量α1，α2，…αn可以利用行列式|A|=|α1α2…αn|是否為零來判斷向量組的線性相關(guān)性;矩陣A的秩r(A)是用A中非零子式的最高階數(shù)來定義的，若r(A)
凡此種種，正是因?yàn)榫�性代數(shù)各知識點(diǎn)之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，代數(shù)題的綜合性與靈活性就較大，同學(xué)們整理時(shí)要注重串聯(lián)、銜接與轉(zhuǎn)換。
三、注重邏輯性與敘述表述
線性代數(shù)對于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解考生對數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復(fù)習(xí)整理時(shí)，應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時(shí)還應(yīng)注意語言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡明。
線性代數(shù)中常見的證明題型有：證|A|=0;證向量組α1，α2，…αt的線性相關(guān)性，亦可引伸為證α1，α2…，αt是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系;證秩的等式或不等式;證明矩陣的某種性質(zhì)，如對稱，可逆，正交，正定，可對角化，零矩陣等;證齊次方程組是否有非零解;線性方程組是否有解(亦即β能否由α1，α2…，αs線性表出);對給出的兩個(gè)方程組論證其同解性或有無公共解;證二次型的正定性，規(guī)范形等。
總之，數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，有各種延伸或變式，同學(xué)們要在考試中取得好成績，一定要認(rèn)真仔細(xì)地復(fù)習(xí)，華而不實(shí)靠押題碰運(yùn)氣是行不通的，必須要重視三基，多思多議，不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，做到融會(huì)貫通。
考研數(shù)學(xué)初期復(fù)習(xí)指導(dǎo)
一、深刻理解概念和性質(zhì)
在學(xué)習(xí)概率論的初期，很多考生容易犯得一個(gè)錯(cuò)誤是：對基本概念、基本性質(zhì)理解的不夠深刻，理解不到這些概念的精髓和用途。許多考生認(rèn)為概念內(nèi)容很簡單，花不了多少時(shí)間就可以倒背如流，看一看就行了。其實(shí)不然，概念是我們學(xué)習(xí)這個(gè)學(xué)科的第一步，只有第一步走的`穩(wěn)穩(wěn)當(dāng)當(dāng)?shù)�，�?shí)實(shí)在在的，才能產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣，才能將這一科越學(xué)越好。因此花時(shí)間好好琢磨一下概率到底在研究什么，每一個(gè)概念是怎樣一個(gè)意思是很有必要的。
二、對于公式，要全面掌握，靈活應(yīng)用
概率論的復(fù)習(xí)中需要記憶很多的公式，每一個(gè)公式都有其使用的條件和時(shí)機(jī);考生需要牢記這些公式的使用條件，在合適的時(shí)候用正確的公式，這樣才能保證題目快而準(zhǔn)的做出來。很多公式有其出現(xiàn)的提示語，如至少，同時(shí)，已經(jīng)等等。在做題目的時(shí)候多總結(jié)就會(huì)全面地掌握這些公式，進(jìn)而做到靈活應(yīng)用。
萬丈高樓平地起，初期復(fù)習(xí)以基礎(chǔ)為重，不貪多，不圖快，做到事半功倍，才不至于在強(qiáng)化和沖刺階段做題目時(shí)云中霧里那樣疑惑。希望大家謹(jǐn)記這兩點(diǎn)為概率復(fù)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。
考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)
重視結(jié)合大綱復(fù)習(xí)
大綱不僅是命題人要遵循的法律也是我們復(fù)習(xí)的依據(jù)�，F(xiàn)在大家用08年的大綱也完全可以。數(shù)學(xué)的試題不同于政治的試題，數(shù)學(xué)試題具有連續(xù)性和穩(wěn)定性。細(xì)心的同學(xué)可能注意到了，對不同知識點(diǎn)大綱有不同的要求，有要求理解的，有要求了解的，有要求掌握的，也有要求會(huì)求會(huì)計(jì)算的。那么我們應(yīng)該怎么來對待呢?在基礎(chǔ)階段復(fù)習(xí)中，大家不要在意這幾個(gè)字的區(qū)別，從歷年試卷的內(nèi)容分布上可以看出，凡是考試大綱中提及的內(nèi)容，都有可能考到，甚至某些不太重要的內(nèi)容，也可以以大題的形式在試題中出現(xiàn)。由此可見，以押題、猜題的復(fù)習(xí)方法來對付考研靠不住的，很容易在考場上痛失分?jǐn)?shù)而敗北，應(yīng)當(dāng)參照考試大綱，全面復(fù)習(xí)，不留遺漏。
當(dāng)然，全面復(fù)習(xí)不簡單的就是生記硬背所有的知識，相反，是要抓住問題的實(shí)質(zhì)和各內(nèi)容、各方法的本質(zhì)聯(lián)系，把要記的東西縮小到最小程度，要努力使自已理解所學(xué)知識，多抓住問題的聯(lián)系，少記一些死知識，而且記住了就要牢靠，事實(shí)證明，有些記憶是終生不忘的，而其它的知識又可以在記住基本知識的基礎(chǔ)上，運(yùn)用它們的聯(lián)系而得到。這就是全面復(fù)習(xí)的含義我們都需要把它掌握了。而在以后提高階段中，我們就需要有針對性的復(fù)習(xí)，在考試大綱的要求中，對內(nèi)容有理解，了解，知道三個(gè)層次的要求;對方法有掌握，會(huì)(能)兩個(gè)層次的要求，一般地說，要求理解的內(nèi)容，要求掌握的方法，是考試的重點(diǎn)。在歷年考試中，這方面考題出現(xiàn)的概率較大;在同一份試卷中，這方面試題所占有的分?jǐn)?shù)也較多。 “猜題”的人，往往要在這方面下功夫。一般說來， 也確能猜出幾分來。但遇到綜合題，這些題在主要內(nèi)容中包含著次要內(nèi)容。這時(shí)，“猜題”便行不通了。我們講的這時(shí)要突出重點(diǎn)，不僅要在主要內(nèi)容和方法上多下功夫， 更重要的是要去尋找重點(diǎn)內(nèi)容與次要內(nèi)容間的聯(lián)系，以主帶次，用重點(diǎn)內(nèi)容提挈整個(gè)內(nèi)容。主要內(nèi)容理解透了，其它的內(nèi)容和方法迎刃而解。即抓出主要內(nèi)容不是放棄次要內(nèi)容而孤立主要內(nèi)容，而是從分析各內(nèi)容的聯(lián)系，從比較中自然地突出主要內(nèi)容要求理解，掌握的考的頻率高，常常是以大題的形式出現(xiàn)，大家需要重點(diǎn)來復(fù)習(xí)，把它吃透;要求了解，會(huì)求，會(huì)計(jì)算的知識點(diǎn)考得頻率低一點(diǎn)，所以要求也稍微弱一點(diǎn)，大家花在上面的時(shí)間可以相對少一點(diǎn)。這樣復(fù)習(xí)的時(shí)候才能做到有的放矢。
重視做題質(zhì)量
基礎(chǔ)階段的學(xué)習(xí)過程中,教材上的題目肯定是要做的，那是不是教材上的所有題目都需要做呢?具統(tǒng)計(jì)，《高等數(shù)學(xué)》的教材上題目共1900多道，《線性代數(shù)》教材上共400多道題目，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教材上共230多道。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，要把基本功練熟練透，但我們不主張“題海”戰(zhàn)術(shù)，其實(shí)上面我們已經(jīng)清楚大約要做的題目數(shù)量，這階段我們提倡精練，即反復(fù)做一些典型的題，做到一題多解，一題多變。要訓(xùn)練抽象思維能力，對些基本定理的證明，基本公式的推導(dǎo)，以及一些基本練習(xí)題，要做到不用書寫，就象棋手 下“盲棋”一樣，只需用腦子默想，即能得到正確答案，這樣才叫訓(xùn)練有素，“熟能生巧”�；竟υ鷮�(shí)的人，遇到難題辦法也多，不易被難倒。相反，作練習(xí)時(shí)， 眼高手低，總找難題作，結(jié)果，上了考場，遇到與自己曾經(jīng)作過的類似的題目都有可能不會(huì);不少考生把會(huì)作的題算錯(cuò)了，將其歸結(jié)為粗心大意，確實(shí)，人會(huì)有粗心 的，但基本功扎實(shí)的人，出了錯(cuò)立即會(huì)發(fā)現(xiàn)，很少會(huì)“粗心”地出錯(cuò)。
重視復(fù)習(xí)效果
看教材不是看小說，看完就算了。看的過程中一方面要提高數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)效率，不和別人比速度。要做到能用自己的語言敘述大綱中的概念和定理，切忌“一知半解”。不要一味做題而不注意及時(shí)歸納總結(jié)。及時(shí)總結(jié)可以實(shí)現(xiàn)“量變到質(zhì)變”的飛躍。不要急于做以往的“考研試卷”，等到數(shù)學(xué)的三門課復(fù)習(xí)完畢并經(jīng)過第二階段的復(fù)習(xí)再做，這樣的效果會(huì)更好些。既可了解考什么、怎么考，又可檢驗(yàn)自己復(fù)習(xí)的情況。同學(xué)們還要不驕不躁，持之以恒。另外，我們一定要對自己看過的東西進(jìn)行檢驗(yàn)，看完一章后要看下自己是否可以繼續(xù)下一章節(jié)的學(xué)習(xí)。那如何來檢驗(yàn)?zāi)?我們的方法是：做和考研比較接近的測試題。一般來說書后習(xí)題是不能反映出大家對每一章的掌握情況的。因?yàn)槲覀兊哪繕?biāo)不是期末考試而是考研，課后題是不能說明問題的，大家應(yīng)該通過做一些難度適中的題目才能解決這個(gè)問題。
只要堅(jiān)持并把握好以上三點(diǎn)重視原則，相信你的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)一定會(huì)順利。最后，祝愿所有備考考生都能取得令自己滿意的數(shù)學(xué)成績。
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