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高一數(shù)學(xué)《集合》重點(diǎn)知識點(diǎn)歸納
在年少學(xué)習(xí)的日子里，大家對知識點(diǎn)應(yīng)該都不陌生吧？知識點(diǎn)就是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。想要一份整理好的知識點(diǎn)嗎？下面是小編為大家整理的高一數(shù)學(xué)《集合》重點(diǎn)知識點(diǎn)歸納，希望對大家有所幫助。
高一數(shù)學(xué)《集合》重點(diǎn)知識點(diǎn)歸納 1
一．知識歸納：
1．集合的有關(guān)概念。
1）集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合（集）．其中每一個(gè)對象叫元素
注意：①集合與集合的元素是兩個(gè)不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點(diǎn)與直線的概念類似。
�、诩现械脑鼐哂写_定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互異性（若a?A，b?A，則a≠b）和無序性（{a,b}與{b,a}表示同一個(gè)集合）。
③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就必須符號條件
2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法
3）集合的分類：有限集，無限集，空集。
4）常用數(shù)集：N，Z，Q，R，N*
2．子集、交集、并集、補(bǔ)集、空集、全集等概念。
1）子集：若對x∈A都有x∈B，則A B（或A B）；
2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；記為A B（或 ，且 ）
3）交集：A∩B={x x∈A且x∈B}
4）并集：A∪B={x x∈A或x∈B}
5）補(bǔ)集：CUA={x x A但x∈U}
注意：①? A，若A≠?，則? A ；
②若 ， 則 ；
�、廴� 且 ，則A=B（等集）
3．弄清集合與元素、集合與集合的關(guān)系，掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，特別要注意以下的符號：
�。�1） 與 、的區(qū)別；
�。�2） 與 的區(qū)別；
�。�3） 與 的區(qū)別。
4．有關(guān)子集的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系
�、貯∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；
�、蹵∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。
5．交、并集運(yùn)算的性質(zhì)
�、貯∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A；
③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；
6．有限子集的個(gè)數(shù)：設(shè)集合A的元素個(gè)數(shù)是n，則A有2n個(gè)子集，2n－1個(gè)非空子集，2n－2個(gè)非空真子集。
二．例題講解：
【例1】已知集合M={xx=+ ,∈Z},N={xx= ,n∈Z},P={xx= ,p∈Z}，則M,N,P滿足關(guān)系
A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。
解答一：對于集合M：{xx= ,∈Z}；對于集合N：{xx= ,n∈Z}
對于集合P：{xx= ,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6+1表示被6除余1的數(shù)，所以M N=P，故選B。
分析二：簡單列舉集合中的元素。
解答二：M={…， ，…}，N={…， , , ，…}，P={…， , ，…}，這時(shí)不要急于判斷三個(gè)集合間的關(guān)系，應(yīng)分析各集合中不同的元素。
= ∈N， ∈N，∴M N，又 = M，∴M N，
= P，∴N P 又 ∈N，∴P N，故P=N，所以選B。
點(diǎn)評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設(shè)，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。
變式：設(shè)集合 ， ，則（ B ）
A．M=N B．M N C．N M D．
解：
當(dāng) 時(shí)，2+1是奇數(shù)，+2是整數(shù)，選B
【例2】定義集合A*B={xx∈A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則A*B的子集個(gè)數(shù)為
A）1 B）2 C）3 D）4
分析：確定集合A*B子集的個(gè)數(shù)，首先要確定元素的個(gè)數(shù)，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個(gè)來求解。
解答：∵A*B={xx∈A且x B}， ∴A*B={1,7}，有兩個(gè)元素，故A*B的子集共有22個(gè)。選D。
變式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那么集合M的個(gè)數(shù)為
A）5個(gè) B）6個(gè) C）7個(gè) D）8個(gè)
變式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
解：由已知，集合中必須含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
評析 本題集合A的個(gè)數(shù)實(shí)為集合{c,d,e}的真子集的個(gè)數(shù)，所以共有 個(gè) .
【例3】已知集合A={xx2+px+q=0},B={xx2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實(shí)數(shù)p,q,r的值。
解答：∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={xx2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A
∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，
∴ ∴
變式：已知集合A={xx2+bx+c=0},B={xx2+x+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實(shí)數(shù)b,c,的值.
解：∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+?2+6=0,=-5
∴B={xx2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴
又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,=-5
【例4】已知集合A={x(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿足：A∪B={xx>-2}，且A∩B={x1<>< p="">
分析：先化簡集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。
解答：A={x-2<><-1或x>1}。由A∩B={x1-2}可知[-1,1] B，而(-∞,-2)∩B=ф。<-1或x>
<><-1或x>
綜合以上各式有B={x-1≤x≤5}
變式1：若A={xx3+2x2-8x>0}，B={xx2+ax+b≤0},已知A∪B={xx>-4}，A∩B=,求a,b。（答案：a=-2，b=0）
點(diǎn)評：在解有關(guān)不等式解集一類集合問題，應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的方法，作出數(shù)軸來解之。
變式2：設(shè)M={xx2-2x-3=0},N={xax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。
解答：M={-1,3} , ∵M(jìn)∩N=N, ∴N M
①當(dāng) 時(shí)，ax-1=0無解，∴a=0 ②
分析：先將原問題轉(zhuǎn)化為不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用參數(shù)分離求解。
解答：（1）若 ， 在 內(nèi)有有解
令 當(dāng) 時(shí)，
所以a>-4,所以a的取值范圍是
變式：若關(guān)于x的方程 有實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解答：
點(diǎn)評：解決含參數(shù)問題的'題目，一般要進(jìn)行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關(guān)鍵。
三.隨堂演練
A選擇題
1． 下列八個(gè)關(guān)系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}
�、�0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正確的個(gè)數(shù)
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
2．集合{1，2，3}的真子集共有
（A）5個(gè) （B）6個(gè) （C）7個(gè) （D）8個(gè)
3．集合A={x } B={ } C={ }又 則有
�。ˋ）（a+b） A (B) (a+b) B (C)(a+b) C (D) (a+b) A、B、C任一個(gè)
4．設(shè)A、B是全集U的兩個(gè)子集，且A B，則下列式子成立的是
�。ˋ）CUA CUB （B）CUA CUB=U
�。–）A CUB= （D）CUA B=
5．已知集合A={ }， B={ }則A =
�。ˋ）R （B）{ }
�。–）{ } （D）{ }
6．下列語句：（1）0與{0}表示同一個(gè)集合； （2）由1，2，3組成的集合可表示為
{1，2，3}或{3，2，1}； （3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示為 {1，1，2}； （4）集合{ }是有限集，正確的是
�。ˋ）只有（1）和（4） （B）只有（2）和（3）
（C）只有（2） （D）以上語句都不對
7．設(shè)S、T是兩個(gè)非空集合，且S T，T S，令X=S 那么S∪X=
（A）X （B）T （C） （D）S
8設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判別式 ，則不等式ax2+bx+c 0的解集為
（A）R （B） （C）{ } （D）{ }
B填空題
9.在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為
10.若A={1,4,x},B={1,x2}且A B=B，則x=
11.若A={x } B={x },全集U=R，則A =
12.若方程8x2+(+1)x+-7=0有兩個(gè)負(fù)根，則的取值范圍是
13設(shè)集合A={ },B={x },且A B，則實(shí)數(shù)的取值范圍是。
14.設(shè)全集U={x 為小于20的非負(fù)奇數(shù)}，若A （CUB）={3，7，15}，（CUA） B={13，17，19}，又（CUA） （CUB）= ，則A B=
C解答題
15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若A B={-3}，求實(shí)數(shù)a。
16(12分)設(shè)A= ， B= ，
其中x R,如果A B=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
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集合與元素
一個(gè)東西是集合還是元素并不是絕對的，很多情況下是相對的，集合是由元素組成的集合，元素是組成集合的元素。
例如：你所在的班級是一個(gè)集合，是由幾十個(gè)和你同齡的同學(xué)組成的集合，你相對于這個(gè)班級集合來說，是它的一個(gè)元素;
而整個(gè)學(xué)校又是由許許多多個(gè)班級組成的集合，你所在的班級只是其中的一分子，是一個(gè)元素。
班級相對于你是集合，相對于學(xué)校是元素，參照物不同，得到的結(jié)論也不同，可見，是集合還是元素，并不是絕對的。
解集合問題的'關(guān)鍵
解集合問題的關(guān)鍵：弄清集合是由哪些元素所構(gòu)成的，也就是將抽象問題具體化、形象化，將特征性質(zhì)描述法表示的集合用列舉法來表示，或用韋恩圖來表示抽象的集合，或用圖形來表示集合;比如用數(shù)軸來表示集合，或是集合的元素為有序?qū)崝?shù)對時(shí)，可用平面直角坐標(biāo)系中的圖形表示相關(guān)的集合等。
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集合是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，它指的是某些指定的對象集在一起所形成的一個(gè)整體。在集合中，每一個(gè)對象都被稱為元素。集合具有以下三個(gè)基本特性：
確定性：集合中的元素是明確的，即一個(gè)元素要么屬于某個(gè)集合，要么不屬于該集合，二者必居其一。
互異性：集合中的.元素是互不相同的，即任意兩個(gè)元素都是不同的。
無序性：集合中的元素是沒有順序的，即集合中元素的排列順序不影響集合的本質(zhì)。
集合的表示方法主要有兩種：
列舉法：將集合中的所有元素一一列出，用大括號“{}”括起來。例如，集合A={1, 2, 3}。
描述法：通過描述集合中元素的共同特征或?qū)傩詠肀硎炯�。例如，集合B={x|x是大于1的整數(shù)}。
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集合間的關(guān)系主要包括子集、真子集、空集和相等集合等概念。
子集：如果集合A的每一個(gè)元素都是集合B的元素，那么稱A是B的子集，記作AB。
真子集：如果A是B的子集，并且A不等于B（即A中至少有一個(gè)元素不在B中），那么稱A是B的真子集，記作AB。
空集：不含任何元素的`集合稱為空集，記作�？占侨魏渭系淖蛹�。
相等集合：如果兩個(gè)集合A和B的元素完全相同，那么稱A和B是相等集合，記作A=B。
集合的運(yùn)算主要包括交集、并集和補(bǔ)集等。
交集：兩個(gè)集合A和B的交集是指同時(shí)屬于A和B的元素組成的集合，記作A∩B。
并集：兩個(gè)集合A和B的并集是指屬于A或?qū)儆贐的所有元素組成的集合，記作A∪B。
補(bǔ)集：在全集U中，但不在集合A中的元素組成的集合稱為A的補(bǔ)集，記作CuA（或A）。
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集合具有一些重要的性質(zhì)，如集合的冪集性質(zhì)、集合的運(yùn)算性質(zhì)等。
冪集性質(zhì)：設(shè)集合A有n個(gè)元素，則A的子集個(gè)數(shù)為2^n個(gè)（包括空集和A本身）。
運(yùn)算性質(zhì)：
交集運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律，即A∩B=B∩A，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C。
并集運(yùn)算也滿足交換律和結(jié)合律，即A∪B=B∪A，A∪(B∪C)=(A∪B)∪C。
補(bǔ)集運(yùn)算滿足德摩根定律，即Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB。
此外，集合的運(yùn)算還滿足一些其他性質(zhì)，如空集的性質(zhì)（任何集合與空集的'交集為空集，任何集合與空集的并集為該集合本身）、全集的性質(zhì)（任何集合與全集的交集為該集合本身，任何集合與全集的補(bǔ)集為空集）等。
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集合在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。在解決實(shí)際問題時(shí)，常常需要將問題轉(zhuǎn)化為集合問題，利用集合的性質(zhì)和運(yùn)算來求解。
集合在不等式解集中的應(yīng)用：可以利用集合表示不等式的解集，并通過集合的運(yùn)算求解不等式的解。
集合在函數(shù)定義域和值域中的應(yīng)用：函數(shù)的定義域和值域都可以用集合來表示，通過集合的運(yùn)算可以求解函數(shù)的定義域和值域。
集合在邏輯推理中的應(yīng)用：可以利用集合進(jìn)行邏輯推理，如利用集合的包含關(guān)系進(jìn)行命題的真假判斷等。
集合在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用：如集合在排班問題、分組問題、分配問題等方面的'應(yīng)用，都可以通過集合的性質(zhì)和運(yùn)算來求解。
總之，集合是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。通過學(xué)習(xí)和掌握集合的基本概念、表示方法、關(guān)系與運(yùn)算以及性質(zhì)和定律等知識點(diǎn)，可以更好地理解和應(yīng)用集合來解決實(shí)際問題。
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一、集合的基本概念
集合的定義：某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合（簡稱集）。
元素：集合中的每一個(gè)對象叫做這個(gè)集合的元素。
集合的表示：通常用大寫拉丁字母表示集合，如A、B、C等；用小寫拉丁字母表示元素，如a、b、c等。如果元素a屬于集合A，表示為a∈A；如果元素a不屬于集合A，表示為aA。
二、集合的表示方法
列舉法：把集合中的所有元素一一列舉出來，并用大括號“{}”括起來表示集合。
描述法：用文字、符號或式子等來描述集合中元素的共同特征，從而表示集合�；拘问綖閧x∈I | p(x)}，其中x是集合的.代表元素，I是x的取值（或變化）范圍，p(x)是集合中元素所具有的共同特征。
圖示法：用數(shù)軸、文氏圖（Venn圖）等來形象地表示集合。
三、集合的三個(gè)特性
確定性：集合中的元素是確定的，即任何一個(gè)對象都能明確判斷它是不是某一集合的元素。
互異性：集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重復(fù)。
無序性：集合中的元素是無序的，即集合中元素的排列沒有固定的順序。
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一、集合的分類
有限集：含有有限個(gè)元素的集合。
無限集：含有無限個(gè)元素的集合。
空集：不含任何元素的集合，記作。空集是任何集合的.子集。
二、集合間的關(guān)系
子集：如果集合A中的每一個(gè)元素都是集合B的元素，那么稱A是B的子集，記作AB。
真子集：如果A是B的子集，且A不等于B（即A中至少有一個(gè)元素不屬于B），那么稱A是B的真子集，記作AB。
相等：如果兩個(gè)集合的元素完全相同，那么這兩個(gè)集合相等。
三、集合的運(yùn)算
交集：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，記作A∩B。
并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，記作A∪B。
補(bǔ)集：在全集U中，由不屬于集合A的所有元素組成的集合，記作C_U A（或A）。
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一、常用數(shù)集及其記法
自然數(shù)集：記作N，表示所有正整數(shù)的集合（有時(shí)包括0，有時(shí)不包括，具體根據(jù)教材或上下文確定）。
正整數(shù)集：記作N*（或N+），表示所有大于0的整數(shù)的集合。
整數(shù)集：記作Z，表示所有整數(shù)的集合（包括正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù)）。
有理數(shù)集：記作Q，表示所有可以表示為兩個(gè)整數(shù)之比的'數(shù)的集合（即分?jǐn)?shù)集合）。
實(shí)數(shù)集：記作R，表示所有實(shí)數(shù)的集合（包括有理數(shù)和無理數(shù)）。
二、集合的運(yùn)算性質(zhì)
交集運(yùn)算性質(zhì)：
A∩A=A
A∩=
A∩B=B∩A（交集滿足交換律）
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)（交集滿足結(jié)合律）
并集運(yùn)算性質(zhì)：
A∪A=A
A∪=A
A∪B=B∪A（并集滿足交換律）
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)（并集滿足結(jié)合律）
補(bǔ)集運(yùn)算性質(zhì)：
C_U (A∪B)=C_U A∩C_U B
C_U (A∩B)=C_U A∪C_U B
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一、集合的應(yīng)用
實(shí)際問題抽象化：將實(shí)際問題中的對象抽象為集合，通過集合的運(yùn)算和性質(zhì)解決實(shí)際問題。
邏輯推理：利用集合的運(yùn)算和性質(zhì)進(jìn)行邏輯推理，判斷命題的真假。
二、注意事項(xiàng)
區(qū)分元素與集合：元素是集合的基本單位，集合是由元素組成的.整體。
注意集合的運(yùn)算順序：在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)，需要注意運(yùn)算的順序和優(yōu)先級。
理解集合的運(yùn)算性質(zhì)：掌握集合的運(yùn)算性質(zhì)是進(jìn)行集合運(yùn)算的基礎(chǔ)。
綜上所述，高一數(shù)學(xué)《集合》的重點(diǎn)知識點(diǎn)包括集合的基本概念、表示方法、三個(gè)特性、分類、關(guān)系、運(yùn)算以及常用數(shù)集和運(yùn)算性質(zhì)等。在學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)注重理解和掌握這些知識點(diǎn)，并能夠靈活運(yùn)用它們解決實(shí)際問題。
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