高二數(shù)學(xué)排列組合的知識點
1。排列及計算公式
從n個不同元素中，任取m（mn）個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m（mn）個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號p（n，m）表示。
p（n，m）=n（n—1）（n—2）（n—m+1）=n！/（n—m）！（規(guī)定0！=1）。
2。組合及計算公式
從n個不同元素中，任取m（mn）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m（mn）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)。用符號c（n，m）表示。
c（n，m）=p（n，m）/m！=n！/（（—m）！*m�。籧（n，m）=c（n，n—m）；
3。其他排列與組合公式
從n個元素中取出r個元素的循環(huán)排列數(shù)=p（n，r）/r=n！/r（n—r）！。
n個元素被分成k類，每類的個數(shù)分別是n1，n2，。。。nk這n個元素的全排列數(shù)為n！/（n1！*n2！*。。。*nk�。�。
k類元素，每類的個數(shù)無限，從中取出m個元素的組合數(shù)為c（m+k—1，m）。
排列（Pnm（n為下標，m為上標））
Pnm=n（n—1）。。。。（n—m+1）；Pnm=n！/（n—m）�。ㄗⅲ�！是階乘符號）；Pnn（兩個n分別為上標和下標）=n��；0！=1；Pn1（n為下標1為上標）=n
組合（Cnm（n為下標，m為上標））
Cnm=Pnm/Pmm；Cnm=n！/m！（n—m）��；Cnn（兩個n分別為上標和下標）=1；Cn1（n為下標1為上標）=n；Cnm=Cnn—m
2008—07—0813：30
公式P是指排列，從N個元素取R個進行排列。公式C是指組合，從N個元素取R個，不進行排列。N—元素的總個數(shù)R參與選擇的元素個數(shù)！—階乘，如9！=9*8*7*6*5*4*3*2*1
從N倒數(shù)r個，表達式應(yīng)該為n*（n—1）*（n—2）。。（n—r+1）；
因為從n到（n—r+1）個數(shù)為n—（n—r+1）=r
舉例：
Q1：有從1到9共計9個號碼球，請問，可以組成多少個三位數(shù)？
A1：123和213是兩個不同的排列數(shù)。即對排列順序有要求的，既屬于排列P計算范疇。
上問題中，任何一個號碼只能用一次，顯然不會出現(xiàn)988，997之類的組合，我們可以這么看，百位數(shù)有9種可能，十位數(shù)則應(yīng)該有9—1種可能，個位數(shù)則應(yīng)該只有9—1—1種可能，最終共有9*8*7個三位數(shù)。計算公式=P（3，9）=9*8*7，（從9倒數(shù)3個的乘積）
Q2：有從1到9共計9個號碼球，請問，如果三個一組，代表三國聯(lián)盟，可以組合成多少個三國聯(lián)盟？
A2：213組合和312組合，代表同一個組合，只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于組合C計算范疇。
上問題中，將所有的包括排列數(shù)的.個數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個數(shù)即為最終組合數(shù)C（3，9）=9*8*7/3*2*1
排列、組合的概念和公式典型例題分析
例1設(shè)有3名學(xué)生和4個課外小組。
（1）每名學(xué)生都只參加一個課外小組；
�。�2）每名學(xué)生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學(xué)生參加。各有多少種不同方法？
解
�。�1）由于每名學(xué)生都可以參加4個課外小組中的任何一個，而不限制每個課外小組的人數(shù)，因此共有種不同方法。
�。�2）由于每名學(xué)生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學(xué)生參加，因此共有種不同方法。
點評
由于要讓3名學(xué)生逐個選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進行計算。
例2排成一行
其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少種？
解依題意，符合要求的排法可分為第一個排、、中的某一個，共3類，每一類中不同排法可采用畫樹圖的方式逐一排出：符合題意的不同排法共有9種。
點評
按照分類的思路，本題應(yīng)用了加法原理。為把握不同排法的規(guī)律，樹圖是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)模型。
例3判斷
下列問題是排列問題還是組合問題？并計算出結(jié)果。
（1）高三年級學(xué)生會有11人：
�、倜績扇嘶ネㄒ环庑�，共通了多少封信？
�、诿績扇嘶ノ樟艘淮问�，共握了多少次手？
（2）高二年級數(shù)學(xué)課外小組共10人：
�、購闹羞x一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法？
�、趶闹羞x2名參加省數(shù)學(xué)競賽，有多少種不同的選法？
�。�3）有2，3，5，7，11，13，17，19八個質(zhì)數(shù)：
�、購闹腥稳蓚�數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？
�、趶闹腥稳蓚�求它的積，可以得到多少個不同的積？
�。�4）有8盆花：
�、購闹羞x出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？
�、趶闹羞x出2盆放在教室有多少種不同的選法？
分析（1）
�、儆捎诿咳嘶ネㄒ环庑牛捉o乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)是排列；
�、谟捎诿績扇嘶ノ找淮问郑着c乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無關(guān)，所以是組合問題。其他類似分析。
�。�1）①是排列問題，共用了封信；②是組合問題，共需握手（次）。
�。�2）①是排列問題，共有（種）不同的選法；②是組合問題，共有種不同的選法。
（3）①是排列問題，共有種不同的商；②是組合問題，共有種不同的積。
（4）①是排列問題，共有種不同的選法；②是組合問題，共有種不同的選法。
例4證明。
證明左式
右式。
等式成立。
點評這是一個排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)，可使變形過程得以簡化。
例5化簡。
解法一原式
解法二原式
點評解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數(shù)的兩個性質(zhì)，都使變形過程得以簡化。
例6解方程：（1）；（2）。
解（1）原方程
解得。
�。�2）原方程可變?yōu)?/p>
原方程可化為。
即，解得
第六章排列組合、二項式定理
一、考綱要求
1。掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個原理分析解決一些簡單的問題。
2。理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的問題。
3。掌握二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計算和論證一些簡單問題。
二、知識結(jié)構(gòu)
三、知識點、能力點提示
�。ㄒ唬┘臃ㄔ沓朔ㄔ�
說明加法原理、乘法原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ)，掌握此兩原理為處理排列、組合中有關(guān)問題提供了理論根據(jù)。
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