數(shù)學(xué)指導(dǎo)：圓錐曲線知識分析
數(shù)學(xué)指導(dǎo)：圓錐曲線知識分析
一、復(fù)習(xí)目標(biāo)
1、掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，理解橢圓的參數(shù)方程。
2、了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用。
二、要點(diǎn)精講
1、圓錐曲線的統(tǒng)一性
(1)從方程的形式看，在直角坐標(biāo)系中，橢圓、雙曲線和拋線這三種曲線的方程都是二元二次的，所以也叫二次曲線。
(2)從點(diǎn)的集合(或軌跡)的觀點(diǎn)看，它們都是與定點(diǎn)和定直線距離的比是常數(shù)e 的點(diǎn)的集合(或軌跡)，這個定點(diǎn)是它們的焦點(diǎn)，定直線是它們的準(zhǔn)線，只是由于離心率e 取值范圍的不同，而分為橢圓、雙曲線和拋物線三種曲線。
(3)這三種曲線都可以是由平面截圓錐面得到的截線，因而才稱之為圓錐曲線。
(4)圓錐曲線第二定義把曲線上的點(diǎn)M、焦點(diǎn)F、相應(yīng)準(zhǔn)線l和離心率e四者巧妙地聯(lián)系起來，所以在圓錐曲線的問題中，凡與準(zhǔn)線、離心率、焦點(diǎn)有關(guān)的問題應(yīng)充分利用第二定義。
2、雙曲線與橢圓的聯(lián)系與區(qū)別
(1)雙曲線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知識結(jié)構(gòu)相似：①方程形式相似：只一號之別(橢圓是+、雙曲線是-②對稱性相同：都關(guān)于x 軸、y軸、原點(diǎn)對稱。
(2)雙曲線和橢圓也有明顯區(qū)別：①雙曲線和橢圓的.形狀是不一樣的，雙曲線是兩條曲線，而橢圓是一條封閉的曲線;②雙曲線有兩條漸近線，而橢圓沒有漸近線;③雙曲線有兩頂點(diǎn)，離心率 e1，準(zhǔn)線在兩頂點(diǎn)之間;而橢圓有四個頂點(diǎn)，離心率0
3、焦半徑
圓錐曲線上一點(diǎn)與其焦點(diǎn)的連線段稱為這一點(diǎn)的焦半徑，下面是用的較多的焦半徑公式：
(1)對于橢圓 ( )而言，|PF1|= +ex0，|PF2|= -ex0.
(2)對于雙曲線 ( )而言，若點(diǎn)p在右半支上，則|PF1|= +ex0;若點(diǎn)p在左半支上，則|PF1|=-(ex0+ ), |PF2|=-(ex0- )。
(3)對于拋物線y2=2px(p0)而言，|PF |=x0+ .
以上各式中，P(x0 ,y0)是曲線上的一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓、雙曲線的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，在這里特別強(qiáng)調(diào)的是，由于曲線方程的不同，焦半徑公式也各不相同。
4、幾個常用結(jié)論
(1)橢圓的焦點(diǎn)三角形：橢上一點(diǎn)P與橢圓的兩個焦點(diǎn)F1、F2組成的三角形稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形，解決與橢圓焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題時，應(yīng)注意橢圓的定義、正弦和余弦定理的運(yùn)用。
(2)關(guān)于拋物線焦點(diǎn)弦的幾個結(jié)論：設(shè)AB為過拋物線 y2=2px (p0 )焦點(diǎn)的弦，A(x1 ，y1)、B (x2 ,y2 ) ,直線AB的傾斜角為，則① x1x2= ， y1y2=-p2 ; ② |AB|= ③以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切;④焦點(diǎn)F對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為900;⑤ .
三、特別提示
1、當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確，而無法確定其標(biāo)準(zhǔn)方程時，可設(shè)方程為 =1(m0，n0且mn)，這樣可以避免討論和繁雜的運(yùn)算，橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程均可用簡單形式 mx2+ny2=1(mn0)來表示，所不同的是：若方程表示橢圓，則要求m0，n0且m若方程表示雙曲線，則要求mn0，利用待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程時，應(yīng)注意此方法的合理使用，以避免討論。
2、雙曲線是具有漸近線的曲線，復(fù)習(xí)中要注意以下兩個問題：
(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線方程，將雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的常數(shù)1換成0，即得 =0，然后分解因式即可得到其漸近線方程 =0;若求中心不在原點(diǎn)，對稱軸平行于坐標(biāo)軸的雙曲線的漸近線方程，只需將雙曲線方程x，y分別配方，然后將常數(shù)1換成0，再分解因式，則可得漸近線方程，例如雙曲線 =1的漸近線方程為 =0，即y3(x+2)，因此，如果雙曲線的方程已經(jīng)確定，那么它的漸近線方程也就確定了。
(2)求已知漸近線的雙曲線方程，已知漸近線方程為 =0時，可設(shè)雙曲線方程為，再利用其他條件確定 的值，求法的實(shí)質(zhì)是待定系數(shù)法，如果已知雙曲線的漸近線，雙曲線方程卻不是惟一確定的。
3、在建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的坐標(biāo)系時，以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為一條坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，這樣不僅具有對稱性，而且曲線過原點(diǎn)，方程不含常數(shù)項(xiàng)，形式更為簡單，便于應(yīng)用。
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