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趣味數(shù)學(xué)題:貓追老鼠

時間:2021-07-13 17:23:58 數(shù)學(xué) 我要投稿

趣味數(shù)學(xué)題:貓追老鼠

  一只貓緊緊追趕著一只老鼠。 就在貓將要抓住老鼠的時候,老鼠正好跑到一個圓形的池塘旁邊,縱身跳入池內(nèi),貓抓了個空。貓舍不得這頓即將到口的美餐,于是盯住老鼠,在池邊跟著老鼠游泳方向跳動,想等老鼠爬上岸來時抓住它。 請問貓奔跑的速度至少是老鼠游水速度多少倍,貓才能看住老鼠,使得老鼠一上岸,就被貓逮。考僭O(shè)老鼠和貓都非常聰明,它們可以任意改變運(yùn)動方向而不影響速度。

趣味數(shù)學(xué)題:貓追老鼠

  難度系數(shù)

   注釋:這是一道非常難的題,在IQ出現(xiàn)了至少3次,最早出現(xiàn)是在01年,據(jù)說要用高等數(shù)學(xué)的知識才可解出來。

  答案:

  本題是需要高等數(shù)學(xué)求解析解,而且還很不好算。我用matlab算了個數(shù)值解.供參考....

  老鼠在到了1/x的圈上時,與貓的”距離“最遠(yuǎn)為:Pai

  假設(shè)他出這個圈的點為a 圓心為0

  但這個時候沒有任何理由說老鼠走半徑是最優(yōu)的。

  老鼠出圈以后,貓是沒道理轉(zhuǎn)追方向的',因為老鼠一出圈,貓就能縮短“距離”小與Pai ,它改方向只會讓它從較大交角的那一邊追。明顯化不來。

  出圈以后還有一點是肯定的:老鼠一定是走直線。不管走什么路徑,最終到外面圓周上以后,走的距離絕對比圓周上點到出圈點的直線遠(yuǎn),這樣明顯不是最優(yōu)。

  所以我假設(shè)老鼠最終在圓周b點出最外面的圓周,設(shè)角aob為未知數(shù),算x的最大值 x=MAX(cosα + (cosα - 1 + (∏ + α)^2)^0.5)

  MAX為在α可取范圍內(nèi)表達(dá)式的最大值

  其中α的取值范圍為[0,arccos(1/x)] 算出來就是帖子里的那個答案

  當(dāng)然,還需要考慮老鼠出1/x圈以后不能右走回這個圈,所以我在角aob的取值區(qū)間上做了限制,保證了這點。

  用matlab算出結(jié)果:角度取1.1395時有最大值 4.6303。

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