初中奧數(shù)答案參考
例1.已知：△ABC中，∠B=2∠C，AD是高
求證：DC=AB+BD
分析一：用分解法，把DC分成兩部分，分別證與AB，BD相等。
可以高AD為軸作△ADB的對(duì)稱三角形△ADE，再證EC=AE。
∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC，∴∠EAC=∠C
輔助線是在DC上取DE=DB，連結(jié)AE。
分析二：用合成法，把AB，BD合成一線段，證它與DC相等。
仍然以高AD為軸，作出DC的對(duì)稱線段DF。
為便于證明，輔助線用延長(zhǎng)DB到F，使BF=AB，連結(jié)AF，則可得
∠ABD=2∠F=2∠C。
例2.已知：△ABC中，兩條高AD和BE相交于H，兩條邊BC和AC的中垂線相交于O，垂足是M，N
求證：AH=2MO， BH=2NO
證明一：(加倍法――作出OM，ON的2倍)
連結(jié)并延長(zhǎng)CO到G使OG=CO連結(jié)AG，BG
則BG∥OM，BG=2MO，AG∥ON，AG=2NO
∴四邊形AGBH是平行四邊形，
∴AH=BG=2MO，BH=AG=2NO
證明二：(折半法――作出AH，BH的一半)
分別取AH，BH的中點(diǎn)F，G連結(jié)FG，MN
則FG=MN= AB，F(xiàn)G∥MN∥AB
又∵OM∥AD，
∴∠OMN=∠HGF(兩邊分別平行的兩銳角相等)
同理∠ONM=∠HFG∴△OMN≌△HFG……
例3. 已知：在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB上且CE=AD+AE，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)
求證：∠DCE=2∠BCF
分析：本題顯然應(yīng)著重考慮如何發(fā)揮CE=AD+AE條件的作用，如果只想用加倍法或折半法，則脫離題設(shè)的`條件，難以見(jiàn)效。
我們可將AE(它的等量DG)加在正方形邊CD的延長(zhǎng)線上(如左圖)也可以把正方形的邊CD(它的等量AG)加在AE的延長(zhǎng)線上(如右圖)后一種想法更容易些。
輔助線如圖，證明(略)自己完成
例4.已知：△ABC中，∠B和∠C的平分線相交于I，
求證：∠BIC=90 + ∠A
證明一：(由左到右)
∠BIC=180 -(∠1+∠2)=180 - (∠ABC+∠ACB)
=180 - (∠ABC+∠ACB+∠A)+ ∠A
=90 + ∠A
證明二：(左邊-右邊=0)
∠BIC-(90 + ∠A)
=180 - (∠ABC+∠ACB)-90 - ∠A
=90 - (∠ABC+∠ACB+∠A)=……
證明三：(從已知的等式出發(fā)，進(jìn)行恒等變形)
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180 ∴∠A=180 -(∠ABC+∠ACB)
∠A=90 - (∠ABC+∠ACB)
90 + ∠A=180 - (∠ABC+∠ACB)，即∠BIC=90 + ∠A
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