跑道精講奧數(shù)家教
行程問題之環(huán)形跑道精講
行程問題中包括：火車過橋、流水行船、沿途數(shù)車、獵狗追兔、環(huán)形行程、多人行程等等。每一類問題都有自己的特點(diǎn)，解決方法也有所不同，但是，行程問題無論怎么變化，都離不開“三個(gè)量，三個(gè)關(guān)系”：
這三個(gè)量是： 路程(s)、速度(v)、時(shí)間(t)
三個(gè)關(guān)系：
1. 簡單行程： 路程 = 速度 × 時(shí)間
2. 相遇問題： 路程和 = 速度和 × 時(shí)間
3. 追擊問題： 路程差 = 速度差 × 時(shí)間
環(huán)形跑道問題，從同一地點(diǎn)出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，則每追上一圈相遇一次。環(huán)形跑道:同相向而行的等量關(guān)系:乙程-甲程=跑道長,背向而行的等量關(guān)系:乙程+甲程=跑道長。
1、有甲、乙、丙三人同時(shí)同地出發(fā)，繞一個(gè)花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇。問：這個(gè)花圃的周長是多少米？
設(shè)第一次相遇時(shí)用的時(shí)間是x，40x+38x=40(x+3)+36(x+3). 行程的`問題由兩個(gè)相遇、一個(gè)追擊組成.所以花圃周長為（40+38）×114=8892（米）
2、在一個(gè)圓形跑道上,甲從A點(diǎn),乙從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行,6分鐘后兩人相遇,再過4分鐘甲到B點(diǎn),又過8分鐘兩人再次相遇,甲、乙環(huán)形一周各需多少分鐘？
解：將全部路程看作單位1，第一次相遇后，再一次相遇，行駛的路程是1，那么相遇時(shí)間=4+8=12分鐘，甲乙的速度和=1/12，也就是每分鐘甲乙行駛?cè)痰?/12，6分鐘行駛?cè)痰?/12×6=1/2，也就是說AB的距離是1/2，那么6+4=10分鐘甲到達(dá)B，所以甲的速度（1/2）/10=1/20，甲環(huán)形一周需要1/（1/20）=20分鐘，乙的速度=1/12-1/20=1/30，乙行駛?cè)绦枰?/（1/30）=30分鐘。
4、 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時(shí)速度每走1小時(shí)后休息5分鐘；小張以6千米/小時(shí)速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發(fā)多少時(shí)間第一次相遇？
解：小張的速度是6千米/小時(shí)，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時(shí)間與行程列出下表：
12＋15＝27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時(shí)10分至3小時(shí)15分之間.出發(fā)后2小時(shí)10分小張已走了，此時(shí)兩人相距24-（8＋11）=5（千米）.由于從此時(shí)到相遇已不會(huì)再休息，因此共同走完這5千米所需時(shí)間是5÷（4＋6）＝0.5（小時(shí)）.2小時(shí)10分再加上半小時(shí)是2小時(shí)40分. 答：他們相遇時(shí)是出發(fā)后2小時(shí)40分.
5、甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回）.在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少？
第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時(shí)間是40×3÷60（時(shí)和分轉(zhuǎn)化）＝2（小時(shí)）. 從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了6×2-2＝10（千米）.小王已走了 6＋2=8（千米）.
他們的速度分別是小張 10÷2＝5（千米/小時(shí)），小王 8÷2=4（千米/小時(shí)）.
7、如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們?cè)贑點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米；在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.求這個(gè)圓的周長
解：第一次相遇，兩人合起來走了半個(gè)周長；第二次相遇，兩個(gè)人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個(gè)人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時(shí)兩人合起來所走的行程是第一次相遇時(shí)合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是 80×3＝240（米）.
240-60=180（米）.
180×2＝360（米）.
答：這個(gè)圓的周長是360米.
小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.
�。�1）小張和小王同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？
�。�2）小張和小王同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？
解：（1 ）75秒=1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個(gè)周長的行程.小張的速度是500÷1.25-180=220（米/分）.
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