高考專屬數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
出入相補(bǔ)原理
我國(guó)古代幾何學(xué)不僅有悠久的歷史，豐富的內(nèi)容，重大的成就，而且有一個(gè)具有我國(guó)自己的獨(dú)特風(fēng)格的體系，和西方的歐幾里得體系不同。這一幾何體系的全貌還有待于發(fā)掘清理，本文僅就出入相補(bǔ)原理這一局部方面，就所知提出幾點(diǎn)，主要根據(jù)是流傳至今的以下各經(jīng)典著作：
《周髀算經(jīng)》（簡(jiǎn)稱《周髀》），
《九章算術(shù)》（簡(jiǎn)稱《九章》），
劉徽《九章算術(shù)注》（簡(jiǎn)稱《劉注》），
《海島算經(jīng)》（簡(jiǎn)稱《海島》），
趙爽《日高圖說(shuō)》和《勾股圓方圖說(shuō)》（簡(jiǎn)稱《日高說(shuō)》和《勾股說(shuō)》）。
田畝丈量和天文觀測(cè)是我國(guó)幾何學(xué)的主要起源，這和外國(guó)沒(méi)有什么不同，二者導(dǎo)出面積問(wèn)題和勾股測(cè)量問(wèn)題。稍后的計(jì)算容器容積、土建工程又導(dǎo)出體積問(wèn)題。
我國(guó)古代幾何學(xué)的特色之一是，依據(jù)這些方面的經(jīng)驗(yàn)成果，總結(jié)提高成一個(gè)簡(jiǎn)單明白、看起來(lái)似乎極不足道的一般原理──出入相補(bǔ)原理，并且把它應(yīng)用到形形色色多種多樣的不同問(wèn)題上去。
以下將列舉這些不同的應(yīng)用。
簡(jiǎn)單應(yīng)用和比例理論
所謂出入相補(bǔ)原理，用現(xiàn)代語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是指這樣的明顯事實(shí)：一個(gè)平面圖形從一處移置他處，面積不變。又若把圖形分割成若干塊，那么各部分面積的和等于原來(lái)圖形的面積，因而圖形移置前后諸面積間的和、差有簡(jiǎn)單的相等關(guān)系。立體的情形也是這樣。
應(yīng)用這一原理，容易得出三角形面積等于高底相乘積的一半這一通常的公式，由此以定任意多角形的面積。作為另一簡(jiǎn)單實(shí)例，可以觀察左圖，如果看作把△ACD移置△ACB處，又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ＇、Ⅱ＇，那么依出入相補(bǔ)原理有：
�、螅舰螅�，□PC＝□RC，……（指面積相等）
由此得
PO×OS＝RO×OQ，PO×QC＝RB×BC，……
而 PO＝AR，OS＝QC，PQ＝AB，RB＝OQ，……
因而 AR∶OQ＝RO∶QC，AB∶OQ＝BC∶QC，……
就是相似勾股形ARO和OQC、ABC和OQC的相應(yīng)勾股成比例。并且可以導(dǎo)出其他相應(yīng)部分的比例關(guān)系。
以上這些極簡(jiǎn)單的結(jié)果雖然沒(méi)有在《九章》中明白說(shuō)出，但是曾經(jīng)多處用這些關(guān)系來(lái)解決各種具體問(wèn)題，參看《劉注》。
測(cè)望術(shù)和重差理論
在《周髀》中，就有用兩表測(cè)日影以求日高的方法，計(jì)算的公式是：
見(jiàn)上圖，其中A是日，BI是地平面，ED、GF是先后兩表，DH和FI是日影�！逗u》改測(cè)日高為測(cè)海島的高，同圖AB是海島，H、I是人目望島頂和兩表上端相參合的地方，于是日高公式成為：
劉徽證明和所用的圖都已經(jīng)失傳，但是據(jù)現(xiàn)存《日高說(shuō)》和殘圖以及其他佐證，原證當(dāng)大致如下：
由出入相補(bǔ)原理，得
□JG＝□GB，（1）
□KE＝□EB，（2）
相減得 □JG－□KE＝□GD，
所以 （FI－DH）×AC＝ED×DF，
即 表目距的差×（島高－表高）＝表高×表距。
這就得到上述公式。
按《海島》共九題都屬測(cè)望之類(lèi)，所得公式分母上都有兩測(cè)的差，“重差”這一名稱可能由此而來(lái)。其余八題公式都可依出入相補(bǔ)原理用和上面類(lèi)似的方法證明，現(xiàn)在從略。
元朱世杰《四元玉鑒》中有和《海島》完全類(lèi)似的幾個(gè)題，朱世杰對(duì)這些題的解法應(yīng)該有古代相傳下來(lái)的一定來(lái)歷。依據(jù)朱對(duì)海島一題的解法，我們認(rèn)為原證比上面所示的可能稍復(fù)雜一些。如下圖，現(xiàn)在重作證明如下：
由出入相補(bǔ)原理，除（1）、（2）外又有
□PG＝□GD，（3）
由（1）、（2）、（3）得
□JN＝□EB＝□KE，
所以MI＝DH，（4）
FM＝FI－MI＝FI－DH＝表目距的差。
由（3）式就得到海島公式。
如果依照歐幾里得幾何體系的習(xí)慣證法，那就自然應(yīng)該添一平行線GM＇‖AH，如下圖，再利用相似三角形和比例理論作證。清代李璜以及近代中外數(shù)學(xué)史家大都依這一方法補(bǔ)作海島公式的證明，這當(dāng)然不是劉徽的原意，也和我國(guó)古代幾何的傳統(tǒng)相違背。注意作平行線的時(shí)候應(yīng)有FM＇＝DH，和前面（4）式相比，M和M＇的位置完全不同。
明末耶穌會(huì)傳教士利瑪竇（1552—1610）來(lái)我國(guó)，他的主要學(xué)術(shù)工作之一是介紹歐幾里得幾何體系。他曾口授《測(cè)量法義》一書(shū)，其中載有和海島題完全類(lèi)似的一題。在他所作的證明中，需要在FI上取一點(diǎn)M使（4）式成立，再用比例理論作證，見(jiàn)本頁(yè)上圖。按常理來(lái)說(shuō)，利瑪竇應(yīng)該作平行線而取M＇使FM＇＝DH，但是他一反歐幾里得慣例而和我國(guó)古代傳統(tǒng)不謀而合，頗使人迷惑不解�，F(xiàn)在提出這一問(wèn)題，希望大家共同探討。
勾股定理
在《周髀》和《九章》中，都已經(jīng)明確給出了勾股定理的一般形式：勾2＋股2＝弦2。雖然原證不傳，但是據(jù)《勾股說(shuō)》以及《劉注》，都依出入相補(bǔ)原理證明，并且有遺留到現(xiàn)在可以用來(lái)作證的趙爽殘圖，這幾方面互相參照，原證應(yīng)該大致如下：
如下圖所示，勾股形是ABC，BCED是勾方，EFGH是股方，把二者的和DBCFGH中的△IBD移到△ABC，△GIH移到△GAF，就得到ABIG＝弦2，由此就得到勾股定理。
歐幾里得《幾何原本》中勾股定理的證明如下圖所示，其中要先證有關(guān)三角形全等形以及三角形面積的一些定理，為此要作不少準(zhǔn)備工作，因而在《幾何原本》中直到卷一之末出現(xiàn)這一定理，而在整個(gè)《幾何原本》中幾乎沒(méi)有用到。而在我國(guó)，勾股定理在《九章》中已經(jīng)有多種多樣的應(yīng)用，成為兩千來(lái)年數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要出發(fā)點(diǎn)，參閱以下各節(jié)和文末附表。
在東西方的古代幾何體系中，勾股定理所占的地位是頗不相同的。
勾、股、弦和它們的和差互求
勾、股、弦和它們之間的和差共九個(gè)數(shù)，只須知道其中的二個(gè)就可以求得其他幾個(gè)。
除勾、股、弦互求就是開(kāi)平方之外，《九章》勾股章中有不少這方面的問(wèn)題：
第一，知股弦差、勾，求股、弦（五題）；
第二，知勾股差、弦，求勾、股（一題）；
第三，知股弦差、勾弦差，求勾、股、弦（一題）；
第四，知股弦和、勾，求股、弦（一題）。
各題都列出了一般公式，《勾股說(shuō)》的許多命題也屬這一類(lèi)，《劉注》還給出了證明，公式的來(lái)歷和證明的方法都依據(jù)出入相補(bǔ)原理，有的也用比例原理作別證。
試以勾股章第十三折竹題為例。題設(shè)竹高已知，竹在某處折斷，竹梢著地，著地處和竹根距離也已知。求折斷處的高度，見(jiàn)上圖。如果以竹梢著地處和竹根的距離作為勾，就是從股弦和、勾求股的問(wèn)題，《九章》原文給出的公式是：
股弦差＝勾2/股弦和，
《劉注》又給出了另一公式：
為了證明前一公式，可以考慮上圖，其中正方形ABCD和AEFG的邊各是勾股形的弦和股。依勾股定理曲尺形EBCDGF的面積應(yīng)該等于勾2�，F(xiàn)在把□FD如圖移到□CH，那么依出入相補(bǔ)原理，□BH的面積是勾2，而它的邊長(zhǎng)各是股弦和、股弦差，就得到上面的前一公式。
另一公式的劉徽證明也相類(lèi)似。試考察下圖，其中右下角曲尺部分的面積依勾股定理等于勾2，所以粗黑線圍成部分的面積等于股弦和2－勾2。把長(zhǎng)方形Ⅰ移到Ⅱ，依出入相補(bǔ)原理，這一面積是斜線部分面積的兩倍，就是2×股×股弦和，由此就得到另一公式。
秦九韶公式
秦九韶《數(shù)書(shū)九章》中有一題是已知不等邊三角形田地三邊的長(zhǎng)（稱大斜、中斜、小斜，以下簡(jiǎn)記為大、中、小），求田地面積。秦九韶的解法相當(dāng)于下面的一般公式：
秦的公式來(lái)歷不明，證明也失傳了。
現(xiàn)在補(bǔ)作一證如下：
作大斜上的高分大斜成兩部分，作為勾股形的股和弦，見(jiàn)上圖。由
求高，或怎樣求股。由于
股弦和＝大，
勾2＝弦2－股2＝中2－小2，
所以問(wèn)題歸結(jié)為怎樣從股弦和、勾求股。
依上節(jié)的劉徽公式，得
由此就得到秦的公式。
按秦公式的形式十分古怪，當(dāng)是依某種思路自然引導(dǎo)到這一形式的。
上面的證法頗為自然，也符合我國(guó)古代幾何的傳統(tǒng)特色，說(shuō)它是原證，也是不無(wú)可能的。
在西方有所謂海倫公式（a、b、c是三角形三邊的長(zhǎng)）：
三角形面積＝
這一公式形式十分漂亮。正因?yàn)檫@樣，如果已知海倫公式而再來(lái)推出秦的公式，將是不可思議的。相反，從秦的公式化簡(jiǎn)成海倫的公式，卻是比較自然的發(fā)展。
據(jù)此我們至少可以斷言，秦的公式是獨(dú)立于海倫公式而得來(lái)的。
關(guān)于海倫的生平，從公元前二世紀(jì)到公元后十世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)史家聚訟紛紜。至于海倫留傳到現(xiàn)在的著作，也已經(jīng)人指出，歷代都經(jīng)過(guò)重新編纂，有所增改，已經(jīng)不是本來(lái)面目。這是熟悉希臘數(shù)學(xué)史的應(yīng)予澄清的事，這里就不考慮了。
開(kāi)平、立方
從勾、股求弦，先把勾、股平方后相加，再開(kāi)平方就得弦。因而勾股定理的應(yīng)用自然導(dǎo)致開(kāi)平方的問(wèn)題。
事實(shí)上，《周髀》中已經(jīng)給出了若干具體數(shù)目的平方根，而在《九章》中，更詳細(xì)說(shuō)明了開(kāi)平方的具體方法步驟。這一方法的根據(jù)是幾何的，就是出入相補(bǔ)原理。
試以求55225的平方根為例。這相當(dāng)于已知正方形ABCD的面積是55225，求邊AB的長(zhǎng)，見(jiàn)上圖。按我國(guó)記數(shù)用十進(jìn)位位值制。因AB顯然是一個(gè)百位數(shù)，所以求AB的方法就是依次求出百位數(shù)字、十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字。先估計(jì)（《九章》中用“議”字）百位數(shù)字是2，因而在AB上截取AE＝200，并且作正方形AEFG，它的邊EF的兩倍稱為“定法”。把AEFG從ABCD中除去，所余曲尺形EBCDGF的面積是55225－2002＝15225。其次估計(jì)十位數(shù)字是3，在EB上截取EH＝30，并且補(bǔ)成正方形AHIJ。從AEFG所增加的曲尺形EHIJGF可以分解成三部分：□FH，□FJ，□FI，面積依次是30×EF，30×FG，302，其中EF＝FG＝200，所以從ABCD中除去AHIJ，所余曲尺形HBCDJI的面積是
15225－（2×30×200＋302）＝2325。
現(xiàn)在再估計(jì)個(gè)位數(shù)字是5，在HB上截取HK＝5，并補(bǔ)作正方形AKLM，從ABCD中除去AKLM后所余曲尺形面積和前同法應(yīng)該是
2325－（2×5×230＋522）＝0。
由此知K和B重合而55225的平方根恰好是235。
求立方根的方法步驟和這相似，但是要把一立方體逐步進(jìn)行分解，比平方根求法稍復(fù)雜，所依據(jù)的仍是出入相補(bǔ)原理，這在《九章》中也有詳細(xì)敘述。
我國(guó)開(kāi)平立方法來(lái)源很古，它的幾何本質(zhì)十分清晰，而且方法上可以看出我國(guó)獨(dú)有而世界古代其他民族所無(wú)的位值制記數(shù)法的高度優(yōu)越性。不僅這樣，至遲到十一世紀(jì)中葉，我國(guó)就已經(jīng)把開(kāi)平立方法推廣到開(kāi)任何高次冪，就是所謂“增乘開(kāi)方法”，并且出現(xiàn)了有關(guān)的二項(xiàng)式定理系數(shù)表，就是所謂“開(kāi)方作法本源圖”。從這一方法的幾何淵源看來(lái)，如果說(shuō)當(dāng)時(shí)我國(guó)數(shù)學(xué)家已經(jīng)有高維方體和高維幾何的稚影，似乎不是全無(wú)根據(jù)的。
解二次方程
在開(kāi)平方的過(guò)程中，曾經(jīng)出現(xiàn)像第84頁(yè)下圖中黑線部分那樣的圖形，其中2×EF稱定法。開(kāi)平方在求得AE以后，其次幾步在于從曲尺形EBCDGF的已知面積求得EB�，F(xiàn)在把□DF移到□CH，那么依出入相補(bǔ)原理，□BH面積已知，此外□BH的兩邊EH和EB的差就是定法2×EF，也有已知數(shù)值。因而求EB的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為下面的問(wèn)題：
�。ˋ）已知一長(zhǎng)方形（□BH）的面積、長(zhǎng)闊差，求長(zhǎng)闊。
反過(guò)來(lái)，這一問(wèn)題的解法，可依開(kāi)平方中第二步以下的方法求得，稱為“開(kāi)帶從平方”。這在《九章》以來(lái)是用下面的語(yǔ)句來(lái)表達(dá)的。
�。˙）“以‘長(zhǎng)方形面積’為實(shí)，‘長(zhǎng)闊差’為從法，開(kāi)方除之，得‘闊’”。
以上“從法”一名，當(dāng)來(lái)自開(kāi)平方過(guò)程中的“定法”，“開(kāi)方”一詞也說(shuō)明了它的來(lái)歷。
下面的例取自《九章》，見(jiàn)下圖。圖中ABCD是一方城，出北門(mén)北行若干步到G有木，出南門(mén)南行若干步到F再西行若干步到H，恰可望見(jiàn)木G，問(wèn)題是求方城每邊的長(zhǎng)。據(jù)《劉注》的方法是依出入相補(bǔ)原理得
□EJ＝2□EG＝2□KG＝2×北步×西步。
□EJ的長(zhǎng)闊差是“南步＋北步”，所以解法是以“2×北步×西步”為實(shí)，以“南步＋北步”為從法，開(kāi)平方除之，得EI，也就是方城邊長(zhǎng)。
不僅應(yīng)用開(kāi)平方法可得問(wèn)題（A）的數(shù)值解，而且應(yīng)用出入相補(bǔ)原理，還可以求得解答的精確表達(dá)式。如果以長(zhǎng)方形的闊作為勾，長(zhǎng)作為股，那么問(wèn)題（A）相當(dāng)于：
�。–）已知勾股積、勾股差，求勾、股。
為此考趙爽殘圖如附圖。圖中大小兩正方形的邊長(zhǎng)各是勾股和、勾股差，所以得
勾股和2＝4×勾股積＋勾股差2。
由此得勾股和，因而得勾和股。同樣也可從勾股和、勾股積求得勾和股，這一方法可以參閱《勾股說(shuō)》的末一命題。
宋元時(shí)期明確引入了未知數(shù)的概念。如果以X（當(dāng)時(shí)稱為天元一）表長(zhǎng)方形闊，那么問(wèn)題（A）相當(dāng)于解一個(gè)二次方程
x2+ax=b，
其中a相當(dāng)于從法，b相當(dāng)于實(shí)。所以在古代實(shí)質(zhì)上已經(jīng)給出了這一形式二次方程（a，b都是正數(shù)）的近似解和精確解，前者在宋元時(shí)期發(fā)展為求任意高次方程的數(shù)值解法，后者雖文獻(xiàn)散佚不可查考，但是據(jù)唐初王孝通的著作以及史書(shū)關(guān)于祖沖之的引述看來(lái)，不能排除我國(guó)曾經(jīng)對(duì)三次方程用幾何方法求得精確表達(dá)式的可能性。
在其他各國(guó)，公元九世紀(jì)的時(shí)候，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花刺子模（約780—約850）的代數(shù)學(xué)名著中列舉了各種類(lèi)型二次方程的精確解法，它的方法是幾何的，它的精神實(shí)質(zhì)和出入相補(bǔ)原理頗相類(lèi)似。公元十六世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家關(guān)于三次方程的解法，也完全是幾何的。
體積理論和劉徽原理
如果規(guī)定長(zhǎng)方形的面積是長(zhǎng)闊的積，那么依據(jù)出入相補(bǔ)原理，容易得到：
由此可以完全奠定平面多角形的面積理論。但是在空間情形，如果規(guī)定長(zhǎng)方體的體積是長(zhǎng)、廣、深的積，是否依據(jù)出入相補(bǔ)原理，可以推得。
由此以建立多面體的體積理論，就不是那么明顯而是極其困難的問(wèn)題。歐洲直到十九世紀(jì)末，才把它作為一個(gè)難題明確地提了出來(lái)。公元1900年德國(guó)數(shù)學(xué)家希耳伯特（1862—1943）在國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)上所作著名講演中，把體積理論列為二十三個(gè)問(wèn)題之一。這一問(wèn)題立即為德恩（1878—1952）所解決，答案是否定的：兩個(gè)多面體要分割成彼此重合的若干多面體，必須滿足某些條件，通稱德恩條件。自此以后直到1965年，一位瑞士數(shù)學(xué)家西德勒才證明了德恩條件也是充分的。但是問(wèn)題決不能認(rèn)為已經(jīng)徹底解決。從希耳伯特直到晚近，多面體體積理論仍不斷成為一些知名數(shù)學(xué)家研討的課題。德恩條件敘述復(fù)雜，也難認(rèn)為是合宜的最后形式。
在這種情勢(shì)下，看看中國(guó)古代對(duì)這一問(wèn)題的處理方式是不無(wú)有啟發(fā)性的。
《九章》以至《劉注》解決體積問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)是把一般的多面體分解為一些基本的立體。先把一長(zhǎng)方體斜剖為二，如下圖（1），得兩塹堵（塹堵是兩底面是直角三角形的正柱體）。再把塹堵斜剖為二，如上圖（2）；一個(gè)是陽(yáng)馬（陽(yáng)馬是直角四棱錐體），如上圖（3）；一個(gè)是鱉?（鱉?是四面都是勾股形的四面體），如上圖（4）。其中鱉?的特征是AB和平面BFG垂直，F(xiàn)G和平面ABF垂直。由于任一多面體可以分割為四面體，而任一四面體可以分割為六個(gè)鱉?，如下圖，所以問(wèn)題歸結(jié)為求鱉?（以及陽(yáng)馬）的體積。依劉徽原話，就是所謂陽(yáng)馬、鱉?，“功實(shí)之主也�！�
其次的問(wèn)題是怎樣求得陽(yáng)馬和鱉?的體積。如果長(zhǎng)方體成為立方體，那么分解所得的陽(yáng)馬的體積是鱉?的兩倍。劉徽作了長(zhǎng)篇的分析，得出結(jié)論是：這個(gè)論斷普遍成立。用劉的原話是：“陽(yáng)馬居二，鱉?居一，不易之率也�！蔽覀儼阉Q作：
劉徽原理 斜解一長(zhǎng)方體，所得陽(yáng)馬和鱉?的體積的比恒是二比一。
從這一原理容易得到鱉?和陽(yáng)馬的體積公式。由此又容易得到（2）式，因而整個(gè)多面體的體積理論可奠基于劉徽以及出入相補(bǔ)這兩個(gè)原理之上。
劉徽對(duì)他的原理有詳細(xì)的分析說(shuō)明，實(shí)際上就是這一原理的證明。按希耳伯特和他的后繼者的研究指出，體積理論和面積理論不同，出入相補(bǔ)原理之外，必須輔以連續(xù)一類(lèi)公理。也有人（例如沙頓諾斯基，1903年）提出排除連續(xù)公理，直接應(yīng)用（2）式作為建立體積理論的基礎(chǔ)。但是這樣就要先證明（2）式中高和底面積的乘積凡四都彼此相等，這既不明顯也不簡(jiǎn)單，似不如劉徽原理和出入相補(bǔ)原理的顯豁自然。
總之，多面體的體積理論到現(xiàn)在還余蘊(yùn)未盡，估計(jì)中國(guó)古代幾何中的思想和方法或許對(duì)進(jìn)一步的探討還不無(wú)幫助。
羨除公式
《九章》中列舉了各種多面體的體積，依據(jù)的就是出入相補(bǔ)原理和陽(yáng)馬、鱉?公式�，F(xiàn)在以羨除即隧道（羨除是三個(gè)側(cè)面不是長(zhǎng)方形而是梯形的楔形體，見(jiàn)上圖）為例，圖中ABCD是地面，成一梯形，CDEF是隧道的一端，成垂直平面中的梯形。整個(gè)隧道依剖面IJK對(duì)稱。EG、FH都和CD垂直是隧道的深，IJ是隧道地面的長(zhǎng)，CD、EF、AB各稱上廣、下廣、末廣。《九章》給出的公式是：
《劉注》的證法是先把羨除分解，如在上圖中CD＞AB＞EF的情形，分解成一個(gè)塹堵EFGHLM，兩個(gè)小鱉?AGEL和BHFM，兩個(gè)不正規(guī)大鱉?ACEG和BDFH，再應(yīng)用塹堵、鱉?公式和上一節(jié)公式（2），就得到這一公式。這一方法在《九章》中用來(lái)求得例如芻甍（楔形體）、芻童、盤(pán)池、冥谷（是各種棱臺(tái)）等多面體的體積公式。
如果依IJK剖面取羨除的一半，所得IJKACE如下圖是一斜截直柱體，是把一個(gè)以勾股形為底面的直柱體斜截而成，它的體積是三高平均值和底面面積的積。因由任意曲面所圍成的立體可以看作近似地由這樣的斜截直柱體構(gòu)成，所以據(jù)此可以得出函數(shù)f（x，y）的積分近似公式，猶之微積分中求曲線下面積的辛普森積分近似公式。因而羨除公式具有重要意義。
在西方，斜截直柱體的體積公式最早見(jiàn)于1794年勒讓德（1752—1833）所著《幾何原理》一書(shū)，因此也稱為勒讓德公式。按勒讓德的書(shū)是從歐幾里得《幾何原本》以后最早可以代替《原本》的名著，它的有關(guān)公式的證明同樣依據(jù)四面體體積公式，但是它的分解方法和《劉注》不同。
此外某些多面體西方也有不同的分解法和證法，不妨中外參照，加以比較。
球體積和祖暅原理
從《九章》到《劉注》，我國(guó)對(duì)多面體的體積已經(jīng)建立了相當(dāng)完整的理論體系。但是對(duì)于曲面圍成的立體，特別是球的體積問(wèn)題，卻遇到了困難。
這一球體積問(wèn)題，直到南北朝時(shí)期祖暅才完全解決，為此并且提出了所謂祖暅原理 冪勢(shì)既同，則積不容異。
這一原理在公元十七世紀(jì)由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（1598—1647）提出卡瓦列里原理重見(jiàn)于歐洲，成為微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵性的一步。
祖暅關(guān)于球體積公式的證明見(jiàn)于《九章》的唐李淳風(fēng)注，論證極其詳細(xì)清晰。證明分三步：
第一，在一立方體中依兩不同方向作兩內(nèi)切圓柱體，它的共同部分稱“牟棋”。依祖暅原理可得：
高處截面積的和跟陽(yáng)馬同高處的截面積相等。
第三，再應(yīng)用祖暅原理，知三外棋體積的和跟陽(yáng)馬體積相等。
由陽(yáng)馬的體積公式，就可從上述三步得球體積公式。
按牟合方蓋是劉徽所引入的，第一步的結(jié)果實(shí)質(zhì)上也已經(jīng)為劉徽所求得。事實(shí)上，在《劉注》中，他已經(jīng)多次應(yīng)用了祖暅原理來(lái)求曲面圍成立體的體積，例如從方堡?（長(zhǎng)方體）求圓堡?（圓柱），從方錐求圓錐，從方亭（正方臺(tái)）求圓亭（圓臺(tái)），都已經(jīng)使用這方法。祖暅的功績(jī)，不僅在于具體求出了牟合方蓋因而求出球的體積，更在于把實(shí)際上已知并且已經(jīng)廣泛應(yīng)用的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)總結(jié)提高到一般原理的形式。是否應(yīng)該把祖暅原理改稱為劉祖原理，是可以商討的。
從祖暅原理可以立即得出前面講到的劉徽原理，因而多面體的體積理論也可以建立在出入相補(bǔ)原理和祖暅原理這兩個(gè)淺顯易明的基本原理之上。在歐洲，直到希耳伯特的《幾何基礎(chǔ)》問(wèn)世以后，二十世紀(jì)初年，才有人（例如緒思）考慮依卡瓦列里原理以建立體積理論的問(wèn)題。
其 他
《九章》中有豐富的幾何學(xué)內(nèi)容，即使局限于出入相補(bǔ)原理，除了已經(jīng)見(jiàn)于前面各節(jié)的以外，也還有一些成果為我國(guó)數(shù)學(xué)以后發(fā)展的重要出發(fā)點(diǎn)。例如所謂勾股容圓問(wèn)題，在李冶的《測(cè)圓海鏡》中已經(jīng)有了很大的發(fā)展。又如前面提到過(guò)的所謂方城問(wèn)題，在秦九韶、李冶等的著作中已經(jīng)把方城改成了圓城，就是舊有方法所不能解的。為此宋元時(shí)期創(chuàng)立了所謂天元術(shù)一類(lèi)新的理論和方法，不僅可以用來(lái)解決許多新問(wèn)題，對(duì)老的問(wèn)題（所謂古問(wèn)）也提供了新的有力工具，和老的方法（所謂古法）相比可以“省功數(shù)倍”。這些新理論新方法的實(shí)質(zhì)在于幾何的代數(shù)化，乃是解析幾何的前奏，也是近代代數(shù)學(xué)的前驅(qū)。
總 結(jié)
出入相補(bǔ)、劉徽、祖暅等一般原理的建立，說(shuō)明我國(guó)古代學(xué)者具有高度的抽象概括能力，善于在深入廣泛的實(shí)踐基礎(chǔ)上往高里提。這些原理之簡(jiǎn)單易明正可和它們應(yīng)用之廣互相輝映。這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的一種獨(dú)特風(fēng)格，著重在問(wèn)題的解決以及解決的一般方法和一般原理原則，同樣的風(fēng)格也可見(jiàn)之于幾何的代數(shù)化、位值制記數(shù)法等等。這和西方數(shù)學(xué)之偏重于概念和概念之間的相互邏輯關(guān)系，是異其旨趣的。
我國(guó)數(shù)學(xué)經(jīng)典著作散佚的多而保存的少，就像祖暅原理，也只靠李淳風(fēng)一注才得以留傳下來(lái)。像這一類(lèi)重要成果而失傳無(wú)從查考的，當(dāng)不在少數(shù)。盡管如此，只從留傳至今的典籍看來(lái)，我國(guó)數(shù)學(xué)的生產(chǎn)實(shí)踐方面的淵源和發(fā)展演變的線索，仍舊很分明，參見(jiàn)下頁(yè)兩個(gè)附表。
漫談?dòng)欣頂?shù)
在小學(xué)里，同學(xué)們學(xué)習(xí)了自然數(shù)、零和分?jǐn)?shù)，現(xiàn)在，又學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)。這些數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。但是，你想過(guò)沒(méi)有，有理數(shù)是怎么產(chǎn)生的？
很久很久以前，人類(lèi)的祖先群居在森林里、山洞中，身上披的是獸皮和樹(shù)葉，吃的是山上的野獸、樹(shù)上的野果和水里的魚(yú)，終年靠狩獵為生。那時(shí)候，雖然每天獵取的食物不多，但仍然有一個(gè)記數(shù)的問(wèn)題。開(kāi)始，人們只是以”多”和“少來(lái)區(qū)分。漸漸地，有人想到可以扳著手指頭來(lái)數(shù)（shu）數(shù)，因?yàn)槟菚r(shí)每天狩獵的結(jié)果也只是“屈指可數(shù)”的水平。再后來(lái)，狩獵的工具改進(jìn)了，水平也提高了，當(dāng)獵物超過(guò)十個(gè)以后，“屈指”已不可數(shù)，于是又想到在一條繩子上打結(jié)來(lái)記數(shù)。周代（公元前10世紀(jì)前后）《易經(jīng)·系辭》中記載的“上古結(jié)繩而治”，指的就是那個(gè)遠(yuǎn)古的時(shí)代。又過(guò)了不知多少年代，人們漸漸感到“結(jié)繩’不但麻煩，而且時(shí)間一長(zhǎng)往往記不清這些“結(jié)”指的是什么了，終于想到要用一些符號(hào)來(lái)表示各種不同的東西和各種東西的數(shù)目，出現(xiàn)了最早的數(shù)字。例如，公元前三、四千年我國(guó)西安的半坡遺址和公元前近二千年的二里頭遺址的陶文中，就有| || ||| ||||× 或X ∧ 或個(gè) + 八 + |等符號(hào)，它們分別表示
1 2 3 4 5 6 7 8 70。
在殷墟的甲骨文卜辭中，也有許多數(shù)字（參見(jiàn)《中國(guó)數(shù)學(xué)的世界之最》一文）。在國(guó)外，大約在公元八世紀(jì)有一種印度的數(shù)字傳入阿拉伯，它們是：
? ∧ ∨ 10。等等，它們分別表示l：2、工4、5、5、7：8、9、10．這種數(shù)字后來(lái)由阿拉伯傳人歐洲，被歐洲人稱作阿拉伯拉字。這些數(shù)字符號(hào)，在使用過(guò)程中經(jīng)人們不斷的改進(jìn)，最后演變成現(xiàn)在我們所使用的數(shù)字。
數(shù)字的出現(xiàn)，給人們的生產(chǎn)和生活帶來(lái)了極大的方便。但如何用盡量少的數(shù)字來(lái)表示那么多的數(shù)呢？這個(gè)問(wèn)題，在中國(guó)人首先創(chuàng)法了十進(jìn)位置制記數(shù)法以后，才最終得到圓滿的解決。
打獵有時(shí)兩人合作才能獵獲一只兔子，有時(shí)五人合作一共獵獲二頭羊。如何分配這些食物呢？起初，人們只知道“二分一”、”五分二’；后來(lái)，才逐漸形成了分?jǐn)?shù)的概念，記錄下來(lái)，就是“二分之一”、“五分之二”、... ...，這也是中國(guó)人首創(chuàng)的�！吨荀滤憬�(jīng)》中已大量使用分?jǐn)?shù)，《九章算術(shù)》（約公元前100～50年）給出了相當(dāng)完整的分?jǐn)?shù)理論，比歐洲同類(lèi)著作大約早1400年。我們現(xiàn)在所說(shuō)的分?jǐn)?shù)除法把除數(shù)“顛倒相乘”，就是我國(guó)古代教學(xué)家劉徽（公元前三世紀(jì)）的原話。
人類(lèi)對(duì)零的認(rèn)識(shí)比較晚。打不到野獸，空手而歸，這是最初對(duì)“零”的印象──空虛、饑餓、一無(wú)所有。在記錄這種情況時(shí)，各民族大多不約而同地用空位來(lái)表示。后來(lái)，又用符號(hào)“□”表示空位（有人推測(cè)這是個(gè)空無(wú)一物的牲畜欄），慢慢地就演化成現(xiàn)的“0”了。
正如偉大導(dǎo)師恩格斯所精辟論斷的那樣“數(shù)和形的概念不是從其他任何地方，而是從現(xiàn)實(shí)世界中得來(lái)的”。
在小學(xué)教學(xué)中，算式“2-3”給我們的印象是“不夠減”。但學(xué)習(xí)了《有理教》的知識(shí)以后，我們就能解決這個(gè)問(wèn)題了。有理數(shù)包括正數(shù)、負(fù)數(shù)和0。正負(fù)效的概念也是從生產(chǎn)實(shí)際的需要中產(chǎn)生的。生產(chǎn)發(fā)展了，一方面，人們的“財(cái)富”多起來(lái)，同時(shí)也促使人們“互通有無(wú)”，進(jìn)行交換。于是，人們把私有財(cái)產(chǎn)記為正，欠債記為負(fù)；收入記為正，支出記為負(fù)；運(yùn)進(jìn)記為正，運(yùn)出記為負(fù)；超出記為正，不足記為負(fù)... ...人們從這些具有相反意義的量中抽象出了正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念。負(fù)數(shù)是相對(duì)于正數(shù)而言的。正數(shù)和負(fù)數(shù)既相互對(duì)立，又相互依存。我們的祖先不僅最早認(rèn)識(shí)到負(fù)數(shù)的存在，而且總結(jié)出正負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則（如《九章算術(shù)》），這在當(dāng)時(shí)也是一件具有世界意義的重大創(chuàng)造。
由于生產(chǎn)實(shí)踐的需要，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)的概念一直在不斷地?cái)U(kuò)充。目前，對(duì)于人類(lèi)已經(jīng)掌握的數(shù)的概念，其關(guān)系可綜述為：
高考數(shù)學(xué)沖刺輔導(dǎo)：導(dǎo)數(shù)中檔題是拿分點(diǎn)
導(dǎo)數(shù)中檔題是拿分點(diǎn)
近幾年導(dǎo)數(shù)的高考試題主要有下面幾種類(lèi)型：
1.單調(diào)性問(wèn)題
研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)主要應(yīng)用，解決單調(diào)性、參數(shù)的范圍等問(wèn)題，需要解導(dǎo)函數(shù)不等式，這類(lèi)問(wèn)題常常涉及解含參數(shù)的不等式或含參數(shù)的不等式的恒成立、能成立、恰成立的求解。由于函數(shù)的表達(dá)式常常含有參數(shù)，所以在研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意對(duì)參數(shù)的分類(lèi)討論和函數(shù)的定義域。
2.極值問(wèn)題
求函數(shù)y=f(x)的極值時(shí)，要特別注意f'(x0)=0只是函數(shù)在x=x0有極值的必要條件，只有當(dāng)f'(x0)=0且在xx0時(shí)，f'(x0)異號(hào)，才是函數(shù)y=f(x)有極值的充要條件，此外，當(dāng)函數(shù)在x=x0處沒(méi)有導(dǎo)數(shù)時(shí)， 在x=x0處也可能有極值，例如函數(shù)f(x)=x在x=0時(shí)沒(méi)有導(dǎo)數(shù)，但是，在x=0處，函數(shù)f(x)=x有極小值。
還要注意的是， 函數(shù)在x=x0有極值，必須是x=x0是方程f'(x)=0的根，但不是二重根(或2k重根)，此外，在確定極值點(diǎn)時(shí)，要注意，由f'(x)=0所求的駐點(diǎn)是否在函數(shù)的定義域內(nèi)。
3.切線問(wèn)題
曲線y=f(x)在x=x0處的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，切線與曲線的綜合，可以出現(xiàn)多種變化，在解題時(shí)，要抓住切線方程的建立，切線與曲線的位置關(guān)系展開(kāi)推理，發(fā)展理性思維。關(guān)于切線方程問(wèn)題有下列幾點(diǎn)要注意：
(1)求切線方程時(shí)，要注意直線在某點(diǎn)相切還是切線過(guò)某點(diǎn)，因此在求切線方程時(shí)，除明確指出某點(diǎn)是切點(diǎn)之外，一定要設(shè)出切點(diǎn)，再求切線方程;
(2)和曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不一定是切線，反之，切線不一定和曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，因此，切線不一定在曲線的同側(cè)，也可能有的切線穿過(guò)曲線;
(3)兩條曲線的公切線有兩種可能，一種是有公共切點(diǎn)，這類(lèi)公切線的特點(diǎn)是在切點(diǎn)的函數(shù)值相等，導(dǎo)數(shù)值相等;另一種是沒(méi)有公共切點(diǎn)，這類(lèi)公切線的特點(diǎn)是分別求出兩條曲線的各自切線，這兩條切線重合。
4.函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題
函數(shù)的零點(diǎn)即曲線與x軸的交點(diǎn)，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)常常與函數(shù)的單調(diào)性與極值有關(guān)，解題時(shí)要用圖像幫助思考，研究函數(shù)的極值點(diǎn)相對(duì)于x軸的位置，和函數(shù)的單調(diào)性。
5.不等式的證明問(wèn)題
證明不等式f(x)≥g(x)在區(qū)間D上成立，等價(jià)于函數(shù)f(x)-g(x)在區(qū)間D上的最小值等于零;而證明不等式f(x)>g(x)在區(qū)間D上成立，等價(jià)于函數(shù)f(x)-g(x)在區(qū)間D上的最小值大于零，或者證明f(x)min≥g(x)max、f(x)min>g(x)max。因此不等式的證明問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值或最大(小)值問(wèn)題。
高考數(shù)學(xué)易考易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)
1.指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的限制條件你注意了嗎?(真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1)它們的函數(shù)值分布情況是如何的?
2.利用換元法證明或求解時(shí)，是否注意“新元”的范圍變化?是否保證等價(jià)轉(zhuǎn)化?
3.利用放縮法證明或求解時(shí)，是否注意放縮的尺度及方向的統(tǒng)一?
4.圖像變換的時(shí)候是否清楚任何變換都是對(duì)“變量本身”進(jìn)行的?
5.對(duì)于集合，你是否清楚集合中的元素(數(shù)、點(diǎn)、符號(hào)、圖形等)是什么及元素的特性(確定性、互異性、無(wú)序性)?在集合運(yùn)算時(shí)是否注意空集和全集?
6.命題的否定(只否結(jié)論)與否命題(條件、結(jié)論全否)的區(qū)別你知道嗎?
7.求一個(gè)函數(shù)或其反函數(shù)的解析式的時(shí)候你標(biāo)明函數(shù)的定義域了嗎?
8.映射的概念你了解嗎?對(duì)于映射f:A→B，是否注意到集合A中元素的任意性和集合B中與它對(duì)應(yīng)元素的唯一性(B中可有多余元素)?
9.根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)的一般步驟是什么(取值規(guī)定大小、作差化連乘積、判斷符號(hào)下結(jié)論)?
10.判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性時(shí)是否注意到定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這個(gè)必要非充分條件了?
11.“三個(gè)二次”的關(guān)系你清楚嗎?(二次函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即二次方程的根;不等式的解集為二次函數(shù)圖像上方或下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合)含有參數(shù)的二次型你是否注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)、對(duì)稱軸、定義域、判別式、根的大小等的討論?
12.數(shù)列也是一種特殊的函數(shù)你忽視了嗎?是否能利用數(shù)列性質(zhì)解題?
13.你還記得三角變換化簡(jiǎn)的通性通法嗎(“角”的變換、“名”的變換、“冪”的變換、“形”的變換等)?
14.利用“均值不等式”證明或求最值的時(shí)候是否注意“一正、二定、三相等”的條件?如果等號(hào)取不到經(jīng)常采用哪些辦法(利用單調(diào)性、配湊、圖像法等)?
15.分式不等式的一般解法是什么(移項(xiàng)、通分、合并同類(lèi)項(xiàng)、分式化整式)?
16.理解直線的傾斜角和斜率的概念了嗎?在設(shè)直線方程解題時(shí)是否忽略斜率不存在的情況?
17.直線的'截距概念如何理解(截距可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、零)?
18.會(huì)求球面距離嗎?它的基本類(lèi)型有哪些?你能把它們轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形嗎(經(jīng)度同緯度不同轉(zhuǎn)化為線面角、緯度同經(jīng)度不同轉(zhuǎn)化為二面角)?
19.排列、組合應(yīng)用問(wèn)題的解題策略有哪些?(特殊元素優(yōu)先安排、合理分類(lèi)準(zhǔn)確分步、混合問(wèn)題先選后排、正難則反等價(jià)轉(zhuǎn)化、相鄰捆綁不鄰插空、分排問(wèn)題直排處理、定序問(wèn)題除法處理、分配問(wèn)題列表隔板、取與不取用組合數(shù)、分堆問(wèn)題沒(méi)有順序)
20.過(guò)定點(diǎn)的圓切線方程的求法你清楚嗎(首先判斷定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，如果在圓上，直接利用公式;如果在圓外，可由代數(shù)法列方程組求解，也可由幾何法圓心到直線的距離等于半徑列等式求解)?
21.圓的弦長(zhǎng)的求法你清楚嗎(代數(shù)法、幾何法)?
22.能區(qū)分互斥事件和相互獨(dú)立事件(事件A或B是否發(fā)生對(duì)于事件B或A發(fā)生的概率沒(méi)有影響)嗎?
23.解答選擇題、填空題的特殊方法是什么?(數(shù)形結(jié)合、特值<含特殊值、特殊位置、特殊圖形>、排除、驗(yàn)證、轉(zhuǎn)化、分析、估算、極限等)
24.掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義，在它們的統(tǒng)一定義里清楚常數(shù)e的含義。掌握一些常用的求軌跡方程的方法并注意驗(yàn)證，會(huì)用定義法判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么曲線嗎?
25.能盡量多地記住圓錐曲線中的一些重要的點(diǎn)(如焦點(diǎn)、頂點(diǎn))、線段(如長(zhǎng)<實(shí)>半軸、短<虛>半軸、半焦距、焦準(zhǔn)距、焦半徑、通徑)、線(如準(zhǔn)線、漸近線)、圖形(如a,b,c的直角關(guān)系三角形、焦點(diǎn)三角形、直角梯形)及結(jié)論(如焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)三角形的面積公式)的含義并加以靈活運(yùn)用嗎?
26.在直線與圓錐曲線的存在性或范圍問(wèn)題的處理時(shí)，是否注意對(duì)聯(lián)立消去參數(shù)之后的方程的二次項(xiàng)系數(shù)、判別式等進(jìn)行討論?是否也能想到利用曲線變量本身的范圍進(jìn)行求解(如橢圓的有界性)?
27.采用不同的抽樣方法從總體中抽取相同容量的樣本各個(gè)體被抽到的概率相同嗎?(相同，可自行證明)
28.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題嗎?證明的一般步驟是什么(歸納、猜想、證明<先設(shè)n=c時(shí)，命題成立;再設(shè)n=k,k≥c時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立>)?
29.能用定義說(shuō)明函數(shù)是否連續(xù)嗎?
30.兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，不能比較大小。會(huì)用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件解題嗎(實(shí)部和實(shí)部相等、虛部和虛部相等)?
31.清楚導(dǎo)數(shù)的物理意義和幾何意義嗎?函數(shù)連續(xù)與函數(shù)可導(dǎo)有什么聯(lián)系(可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo))?
32.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義。能區(qū)分好復(fù)平面與平面直角坐標(biāo)系嗎?
33.高中階段都遇到了哪些角的范圍，你能分清楚嗎?(1)直線與直線平行時(shí)為0;(2)直線與直線相交時(shí)夾角的范圍是(0,π/2]，到角的范圍是(0,π);(3)兩異面直線(含垂直)所成角的范圍是(0,π/2];(4)兩非零向量所成角的范圍是[0,π];(5)直線與平面所成角的范圍是[0,π/2];(6)斜線與平面所成角的范圍是(0,π/2);(7)二面角的平面角的范圍是[0,π]。
34.在證明空間位置關(guān)系和求距離的時(shí)候除了直接法以外是否能利用轉(zhuǎn)化法或向量法?
35.反三角函數(shù)表示角只能是特定區(qū)間上的角，你能用反三角函數(shù)表示任意區(qū)間上的角嗎?
36.向量是既有大小又有方向的量，不可比較大小。如何進(jìn)行向量運(yùn)算?
37.數(shù)量積的幾何意義是什么?數(shù)量積的運(yùn)算率你清楚嗎(交換率、分配率)?
38.在解三角問(wèn)題時(shí)，你是否注意到三角函數(shù)的定義域、有界性、周期性等，是否能利用圖像對(duì)三角函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行分析?在條件求值問(wèn)題中是否注意角的范圍討論?
39.圖像按向量平移的本質(zhì)是什么(實(shí)際上就是點(diǎn)的平移，簡(jiǎn)言之向量的坐標(biāo)等于終點(diǎn)<目標(biāo)函數(shù)>坐標(biāo)減去起點(diǎn)<原函數(shù)>坐標(biāo))?
40.不等式有哪些重要性質(zhì)?其中哪些性質(zhì)在應(yīng)用的時(shí)候要注意限制條件(可乘、累乘、乘方、開(kāi)方)?
41.能區(qū)分互斥事件(A,B兩事件不可能同時(shí)發(fā)生)和對(duì)立事件(A,B兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生)嗎?
42.解答探索性問(wèn)題時(shí)要注意思維的廣度，注重知識(shí)間的聯(lián)系，善于運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題，一般分猜想歸納型、存在型問(wèn)題、分類(lèi)討論型幾種基本題型。
43.求數(shù)列通項(xiàng)公式的技巧有哪些(觀察、公式、作差、作積、構(gòu)造等)，是否驗(yàn)證每一項(xiàng)都滿足所求因式了?數(shù)列求和時(shí)是否先對(duì)通項(xiàng)公式加以分析?
高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：學(xué)數(shù)學(xué)就像吃牛軋花生糖
為了幫助學(xué)生們更好地學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)，精心為大家搜集整理了“高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：學(xué)數(shù)學(xué)就像吃牛軋花生糖”，希望對(duì)大家的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有所幫助！
高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：學(xué)數(shù)學(xué)就像吃牛軋花生糖
高三數(shù)學(xué)怎么學(xué)？其實(shí)，這是一個(gè)吃“牛軋花生糖”的過(guò)程。我想借用這5個(gè)字“牛、軋(同音“扎”，即扎實(shí))、花生(諧音“化生”，即數(shù)學(xué)解題中的“化生為熟”策略)糖(甜蜜)”，來(lái)談?wù)勎覍?duì)大家學(xué)習(xí)高三數(shù)學(xué)的建議。
提起“�！�，人們會(huì)說(shuō)牛氣沖天、老黃牛、牛勁。是的，我們學(xué)習(xí)就是要一股牛氣，要有一股初生牛犢的精神，要有牛氣沖天的干勁，要不畏難、不怕苦，要勤于思考、敢于實(shí)踐，要把自卑心理一掃而光，代之而起的是高漲而持續(xù)的學(xué)習(xí)熱情。
牛在緊要關(guān)頭不僅有沖勁，在平時(shí)耕田拉車(chē)中還特有韌勁，我們特別需要能長(zhǎng)久維持的韌勁，它是我們成功的必要條件，有了這股韌勁，就能克服一切困難，集中精力，發(fā)奮讀書(shū)，即使身體小有不適，也能盡量堅(jiān)持學(xué)習(xí)，這是對(duì)自己意志的考驗(yàn)。
“軋”音同 “扎”，寓意是學(xué)習(xí)要扎實(shí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的扎實(shí)表現(xiàn)在：
(1)不滿足于聽(tīng)懂、看懂，關(guān)鍵要能準(zhǔn)確地書(shū)寫(xiě)表達(dá)出來(lái)，還要能舉一反三，否則，沒(méi)有真懂。
(2)運(yùn)算要既快又準(zhǔn)。速度慢了不行，但算錯(cuò)了更不行！
要做到這兩條，必須在課堂上認(rèn)真聽(tīng)講、用心思考、勤于演算、善于筆記。在課后還要通過(guò)一定數(shù)量模仿性練習(xí)、提高性練習(xí)等高質(zhì)量作業(yè)才能牢固掌握，做作業(yè)不互相對(duì)答案，不抄襲，遇到不懂問(wèn)題可以相互討論，但懂了以后自己再獨(dú)立做。還要自覺(jué)學(xué)會(huì)歸納解題成功的經(jīng)驗(yàn)和總結(jié)失敗的教訓(xùn)，做到吃一塹，長(zhǎng)一智。
花生的果實(shí)生長(zhǎng)在地下，默默地被大地滋潤(rùn)著，直到成熟才離開(kāi)土地，營(yíng)養(yǎng)價(jià)值極高。滋潤(rùn)著學(xué)生成長(zhǎng)的是國(guó)家以及你們的父母和老師。
“花生”的“生”單獨(dú)字面有陌生、生疏的意思，“花”有相間的意思，此處借用“花生”是想說(shuō)在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)時(shí)常出現(xiàn)一些新的問(wèn)題和困難，這需要我們正確的態(tài)度去對(duì)待，是強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)差、問(wèn)題難，還是知難而進(jìn)，用心思考，不恥下問(wèn)，是對(duì)每個(gè)同學(xué)學(xué)習(xí)毅力的考驗(yàn)。
“花生”的諧音是“化生”，借指數(shù)學(xué)中常用的方法——化生為熟。這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中解決問(wèn)題的一條重要途徑，是學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的重要方法。
糖是大家喜歡的食品，它給我們辛苦的學(xué)習(xí)帶來(lái)一絲甜意，我希望大家在繁重的學(xué)習(xí)間隙，可以唱支歌、跳曲舞來(lái)調(diào)節(jié)生活，來(lái)體驗(yàn)學(xué)習(xí)的甜蜜，預(yù)示同學(xué)們?nèi)旮咧猩钣幸粋�(gè)甜美的結(jié)果。但是大家知道，葡萄在成熟之前是不甜的，這預(yù)示著，在我們最后幾個(gè)月的學(xué)習(xí)中可能會(huì)有很多感觸，那種時(shí)而忽然開(kāi)朗，眼前一片光明，時(shí)而百思不解，眼前一片黑暗，那種糾結(jié)、煩躁、甚至憤怒，沒(méi)有親身經(jīng)歷的人是難以體會(huì)的！這樣的經(jīng)歷是一個(gè)人成長(zhǎng)、成熟所必須經(jīng)歷的，我們只能面對(duì)，沒(méi)有逃避的余地，這或許是“先苦后甜”的深刻含義吧。
吃了今天的“牛軋花生糖”，我相信今后你們學(xué)習(xí)信心更大，克服困難的意志更堅(jiān)強(qiáng)，解決問(wèn)題方法更多，成績(jī)提高得更快，明天的日子會(huì)更甜！
經(jīng)過(guò)精心的整理，有關(guān)“高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法：學(xué)數(shù)學(xué)就像吃牛軋花生糖”的內(nèi)容已經(jīng)呈現(xiàn)給大家，祝大家學(xué)習(xí)愉快！
父與子
阿諾德、巴頓、克勞德和丹尼斯都是股票經(jīng)紀(jì)人，其中有一人是其余三人中某一人的父親。一天，他們?cè)谧C券交易所購(gòu)買(mǎi)股票的情況是：
�。╨）阿諾德購(gòu)買(mǎi)的都是每股3美元的股票，巴頓購(gòu)買(mǎi)的都是每股4美元的股票，克勞德購(gòu)買(mǎi)的都是每股6美元的股票，丹尼斯購(gòu)買(mǎi)的都是每股8美元的股票。
�。�2）父親所購(gòu)的股數(shù)最多，他花了72美元。
�。�3）兒子所購(gòu)的股數(shù)最少，他花了24美元。
（4）這四個(gè)人買(mǎi)股票總共花了161美元。
在這四個(gè)人當(dāng)中，誰(shuí)是那位父親？誰(shuí)是那位兒子？
�。ㄌ崾荆焊鶕�(jù)（1）和（4）列出一個(gè)方程。依次假定某個(gè)人是那位父親或者是那位兒子，則這個(gè)人買(mǎi)了多少股？如果一個(gè)數(shù)是方程中五項(xiàng)中四項(xiàng)的因數(shù)，則它必定也是第五項(xiàng)的因數(shù)。)
答 案
設(shè)
a為阿諾德所購(gòu)的股數(shù)，
b為巴頓所購(gòu)的股數(shù)，
c為克勞德所購(gòu)的股數(shù)，
d為丹尼斯所購(gòu)的股數(shù)。
于是，根據(jù)（1）和（4），就這四人購(gòu)買(mǎi)股票總共所花的錢(qián)可寫(xiě)出方程：
3a+4b+6c+8d=161。
假定阿諾德是那位父親，則根據(jù)（1）和（2），他買(mǎi)了24股；假定巴頓是那位兒子，則根據(jù)（1）和（3），他買(mǎi)了6股。如此等等，共有十二種可能，列表于下。
父親（花了72美元）
兒子（花了24美元）
a=24
b=6
a=24
c=4
a=24
d=3
b=18
a=8
b=18
c=4
b=18
d=3
c=12
a=8
c=12
b=6
c=12
d=3
d=9
a=8
d=9
b=6
d=9
c=4
注意：（A）a、b、c、d都是正整數(shù)，（B）如果一個(gè)整數(shù)能整除一個(gè)具有五個(gè)項(xiàng)的方程中的四項(xiàng)，則它也一定能整除其中的第五項(xiàng)。
根據(jù)上述的（B），a不能等于24或8，因?yàn)?61不能被2整除。如果d等于3則b不能等于18，如果b等于6則d不能等于9，因?yàn)?61不能被3整除。因此，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅹ、和Ⅺ都被排除。
如果d＝9，c＝4．則3a+4b=65.這樣，a或b要大于9，從而與（2）矛盾。如果c=12，b＝6則3a+8d=65。這樣，a或d要小于6,從而與（3）矛盾。因此，Ⅷ和Ⅻ被排除。
如果b＝18，c＝4．則3a+8d=65。3a必須是奇數(shù)，因?yàn)?d是偶數(shù)而65是奇數(shù)（偶數(shù)乘以任何整數(shù)總得偶數(shù)，偶數(shù)加上奇數(shù)總得奇數(shù)）。
于是，a必須是4和18之間的一個(gè)奇數(shù)（奇數(shù)乘以奇數(shù)總得奇數(shù)）。這里唯一能使d取整數(shù)的是a＝11。這意味著d=4，但這與（3）矛盾。因此，V被排除。
剩下唯一的可能是Ⅸ，因此，克勞德是那位父親，丹尼斯是那位兒子。
通過(guò)進(jìn)一步分析，可以得出a、b、c、d的兩組可能值。由c=12，d=3，得3a+4b＝65。根據(jù)與前面同樣的推理，a必須是3和12之間的一個(gè)奇數(shù)。這里能使b取整數(shù)的只有a=7和a=11。于是得到這樣兩組可能的值：
a=7
a=11
b=11
b=8
c=12
c=12
d=3
d=3
名師導(dǎo)學(xué)：高考數(shù)學(xué)首輪復(fù)習(xí)五項(xiàng)建議
古語(yǔ)云：授人以魚(yú)，只供一飯。授人以漁，則終身受用無(wú)窮。學(xué)知識(shí)，更要學(xué)方法。伴隨著奧運(yùn)會(huì)的如火如荼，新一屆高三生們的集訓(xùn)也即將拉開(kāi)序幕。他們的處境有些尷尬，一邊是世界矚目的盛事，一邊是關(guān)乎前途命運(yùn)的決戰(zhàn)。這個(gè)暑假想必充滿了矛盾和猶豫。那么開(kāi)學(xué)在即，就讓我們放下暑期的思想包袱，重新調(diào)整好狀態(tài)，準(zhǔn)備迎戰(zhàn)。首先來(lái)看看關(guān)于高考首輪復(fù)習(xí)，專家是如何建議的。
高考復(fù)習(xí)有別于新知識(shí)的教學(xué)，它是在學(xué)生基本掌握了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，具備了一定的解題經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上的復(fù)課數(shù)學(xué)；也是在學(xué)生基本認(rèn)識(shí)了各種數(shù)學(xué)基本方法、思維方法及數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上的復(fù)課教學(xué)。實(shí)際上，高考這一年數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)工作概括起來(lái)就三句話：澄清概念（思維細(xì)胞）；歸納方法（何時(shí)用，用的要領(lǐng)）；學(xué)會(huì)思考。在此向進(jìn)入數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)的同學(xué)提五項(xiàng)建議：
一、夯實(shí)基礎(chǔ)，知識(shí)與能力并重。
沒(méi)有基礎(chǔ)談不上能力；復(fù)習(xí)要真正地回到重視基礎(chǔ)的軌道上來(lái)，搞清基本原理、基本方法，體驗(yàn)知識(shí)形成過(guò)程以及對(duì)知識(shí)本質(zhì)意義的理解與感悟，同時(shí)，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行全面回顧，并形成自己的知識(shí)體系。
二、復(fù)習(xí)中要把注意力放在培養(yǎng)自己的思維能力上。
培養(yǎng)自己獨(dú)立解決問(wèn)題的能力始終是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)與落腳點(diǎn)，要在體驗(yàn)知識(shí)的過(guò)程中，適時(shí)進(jìn)行探究式、開(kāi)放式題目的研究和學(xué)習(xí)，深刻領(lǐng)悟蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)思想方法，并加以自覺(jué)的應(yīng)用，力求做到使自己的理性思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力有切實(shí)的提高。
學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)要抓住“四個(gè)三”：1.內(nèi)容上要充分領(lǐng)悟三個(gè)方面：理論、方法、思維；2.解題上要抓好三個(gè)字：數(shù)、式、形；3.閱讀、審題和表述上要實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的三種語(yǔ)言自如轉(zhuǎn)化（文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言）；4.學(xué)習(xí)中要駕馭好三條線：知識(shí)（結(jié)構(gòu)）是明線（要清晰），方法（能力）是暗線（要領(lǐng)悟、要提練），思維（訓(xùn)練）是主線（思維能力是數(shù)學(xué)諸能力的核心，創(chuàng)造性的思維能力是最強(qiáng)大的創(chuàng)新動(dòng)力，是檢驗(yàn)自己大腦潛能開(kāi)發(fā)好壞的試金石。）
三、講究復(fù)習(xí)策略。
在第一輪復(fù)習(xí)中，要注意構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，不要盲目地做題，不要急于攻難度大的“綜合題、探究題”，復(fù)習(xí)要以中檔題為主，選題要典型，要深刻理解概念，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，抓住知識(shí)間的相互聯(lián)系。高考題大多數(shù)都很常規(guī)，只不過(guò)問(wèn)題的情景、設(shè)問(wèn)的角度改變了一下，因此，建議考生在首輪復(fù)習(xí)中，不要盲目地自己找題，而應(yīng)在老師的指導(dǎo)下，精做題。
數(shù)學(xué)是應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)解題。搞題海戰(zhàn)術(shù)的方式、方法固然是不對(duì)的，但離開(kāi)解題來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)同樣也是錯(cuò)誤的的，其中的關(guān)鍵在于對(duì)待題目的態(tài)度和處理解題的方式上。
要精選做題，做到少而精。
只有解決高質(zhì)量的、有代表性的題目才能達(dá)到事半功倍的效果，然而絕大多數(shù)的同學(xué)還沒(méi)有辨別、分析題目好壞的能力，這就需要在老師的指導(dǎo)下來(lái)選擇復(fù)習(xí)的練習(xí)題，以了解高考題的形式、難度。
要分析題目。
解答任何一個(gè)數(shù)學(xué)題目之前，都要先進(jìn)行分析。相對(duì)于比較難的題目，分析更顯得尤為重要，我們知道，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)際上就是在題目的已知條件和待求結(jié)論中架起聯(lián)系的橋梁，也就是在分析題目中已知與待求之間差異的基礎(chǔ)上，化歸和消除這些差異。當(dāng)然在這個(gè)過(guò)程中也反映出對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度、理解程度和數(shù)學(xué)方法的靈活應(yīng)用能力。例如，許多三角方面的題目都是把角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)形式統(tǒng)一后就可以解決問(wèn)題了，而選擇怎樣的三角公式也是成敗的關(guān)鍵。
四、加強(qiáng)做題后的反思。
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須要做題，做題一定要獨(dú)立而精細(xì)，只有具備良好的反思能力，才談得上精做。做題前要把老師上課時(shí)復(fù)習(xí)的知識(shí)再回顧一下，對(duì)所學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)要有一個(gè)完整的清楚的認(rèn)識(shí)，不留下任何知識(shí)的盲點(diǎn)，對(duì)所涉及的解題方法要深刻領(lǐng)會(huì)、做題時(shí)，一定要全神貫注，保持最佳狀態(tài)，注意解題格式規(guī)范，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，以良好的心態(tài)進(jìn)入高考。做題后，一定要認(rèn)真反思，仔細(xì)分析，通過(guò)做幾道相關(guān)的變式題來(lái)掌握一類(lèi)題的解法，從中總結(jié)出一些解題技巧，更重要的是掌握解題的思維方式，內(nèi)化為自己的能力，并總結(jié)出對(duì)問(wèn)題的規(guī)律性認(rèn)識(shí)和找出自己存在的問(wèn)題，對(duì)做題中出現(xiàn)的問(wèn)題，注意總結(jié)，及時(shí)解決，重點(diǎn)一定要放在培養(yǎng)自己的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力上。
注意分析探求解題思路時(shí)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。
解題的過(guò)程就是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下，合理聯(lián)想提取相關(guān)知識(shí)，調(diào)用一定數(shù)學(xué)方法加工、處理題設(shè)條件及知識(shí)，逐步縮小題設(shè)與結(jié)論間的差異的過(guò)程，也可以說(shuō)是運(yùn)用化歸思想的過(guò)程，解題思想的尋求就自然是運(yùn)用思想方法分析解決問(wèn)題的過(guò)程。
注意數(shù)學(xué)思想方法在解決典型問(wèn)題中的運(yùn)用。
如解題中求二面角大小最常用的方法之一就是：根據(jù)已知條件，在二面角內(nèi)尋找或作出過(guò)一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面上的垂線，過(guò)這點(diǎn)再作二面角的棱的垂線，然后連結(jié)二垂足，這樣平面角即為所得的直角三角形的一銳角。這個(gè)通法就是在化立體問(wèn)題為平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)下求得的，其中三垂線定理在構(gòu)圖中的運(yùn)用，也是分析、聯(lián)想等數(shù)學(xué)思維方法運(yùn)用之所得。
調(diào)整思路，克服思維障礙時(shí)，注意數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用。
通過(guò)認(rèn)真觀察，以產(chǎn)生新的聯(lián)想；分類(lèi)討論，使條件確切、結(jié)論易求；化一般為特殊、化抽象為具體，使問(wèn)題簡(jiǎn)化等都值得我們一試，分析、歸納、類(lèi)比等數(shù)學(xué)思維方法；數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想是走出思維困境的武器和指南。
注意數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用。
用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)知識(shí)、方法的靈活運(yùn)用，進(jìn)行一題多解的練習(xí)，培養(yǎng)思維的發(fā)散性、靈活性、敏捷性；對(duì)習(xí)題靈活變通、引申推廣，培養(yǎng)思維的深刻性，抽象性；組織引導(dǎo)對(duì)解法的簡(jiǎn)捷性的反思評(píng)估，不斷優(yōu)化思維品質(zhì)，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、批判性，對(duì)同一數(shù)學(xué)問(wèn)題的多角度的審視引發(fā)的不同聯(lián)想，是一題多解的思維本源，豐富的合理的聯(lián)想，是對(duì)知識(shí)的深刻理解，及類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與議程等數(shù)學(xué)思想運(yùn)用的必然。數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的自覺(jué)運(yùn)用往往使我們運(yùn)算簡(jiǎn)捷、推理機(jī)敏，是提高數(shù)學(xué)能力的必由之路。
解題不是目的，我們是通過(guò)解題來(lái)檢驗(yàn)我們的學(xué)習(xí)效果，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中的不足的，以便改進(jìn)和提高。因此，解題后的總結(jié)至關(guān)重要，這正是我們學(xué)習(xí)的大好機(jī)會(huì)，對(duì)于一道完成的題目，有以下幾個(gè)方面需要總結(jié)：
1. 在知識(shí)方面
題目中涉及哪些概念、定理、公式等基礎(chǔ)知識(shí)，在解題過(guò)程中是如何應(yīng)用這些知識(shí)的。
2. 在方法方面
題目是如何入手的，用到了哪些解題方法、技巧，自己是否能夠熟練掌握和應(yīng)用。
3. 在解題步驟方面
能不能把解題過(guò)程概括、歸納成幾個(gè)步驟（比如用數(shù)學(xué)歸納法證明題目就有很明顯的三個(gè)步驟）。
五、高考主干知識(shí)八大塊：
1.函數(shù)；2.數(shù)列；3.平面向量；4.不等式（解與證）；5.解析幾何；6.立體幾何；7.概率、統(tǒng)計(jì)；8.導(dǎo)數(shù)及應(yīng)用。要做到塊塊清楚，不足之處如何彌補(bǔ)有招法，并能自覺(jué)建立起知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，函數(shù)是其中最核心的主干知識(shí)，自然是高考考查的重點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)首輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。函數(shù)內(nèi)容歷來(lái)是高考命題的重點(diǎn)，試題中占有比重最大，在數(shù)列、不等式、解析幾何等其他試題中，如能自覺(jué)應(yīng)用函數(shù)思想方法來(lái)解題也往往能收到良好的效果。因此，掌握函數(shù)的基礎(chǔ)概念，函數(shù)的圖像與性質(zhì)的相互聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化；掌握函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)與數(shù)列等知識(shí)的交匯與綜合是數(shù)學(xué)首輪復(fù)習(xí)的重中之重。
【高考專屬數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料】相關(guān)文章：
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料06-14
高考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)資料指導(dǎo)06-14
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料策略整理10-11
高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料方法10-11
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料答題思路10-11
成人高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料大全01-27
2017廣東高考數(shù)學(xué)集合復(fù)習(xí)資料09-29