小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全之巧妙解題方法及練習(xí)題
文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數(shù)學(xué)頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學(xué)們更好的去學(xué)習(xí)這些知識。
巧想奇偶數(shù)
例1 把13枚貳分錢硬幣按國徽朝下的方法放在桌面上，如果每次翻動12枚，你能不能把13枚硬幣都翻成國徽朝上?
分析：按規(guī)定每進行一次操作，即每次翻動12枚硬幣，不論翻動多少次，翻動硬幣的枚數(shù)總是12的倍數(shù)，即永遠是偶數(shù)，這個性質(zhì)在翻動硬幣的過程中保持不變;
要把13枚硬幣都翻成國徽朝上，則每枚硬幣都必須翻動奇數(shù)次，13個奇數(shù)相加仍為奇數(shù)，而奇數(shù)不等于偶數(shù)，所以根據(jù)規(guī)定把13枚硬幣都翻成國徽朝上是不可能的。
例2 有甲乙兩個容器，在甲容器中盛有1千克水。第一次把甲容器中的
依次輪換倒下去，倒十九次后，乙容器中有多少水?
分步探求規(guī)律：
不管傾倒多少次，甲乙容器中水的總和始終不變，為1千克。
例3 趣題：從前，在大草原上，有一個牧主。他有很多的牛、羊，可他卻是個吝嗇鬼。
有一年，他雇了一位牧羊人給他放羊。牧羊人給牧主放了一年的羊。到年終的時候。牧主對牧羊人說：“還有7天就過年了。在這7天里，你要殺死36只羊，每天殺死的羊只能是單數(shù)，而不能是雙數(shù)，你能完成這個任務(wù)我就付給你工錢，如果你不能照我說的辦，那么，這一年你只好白干了。”
牧羊人想：“奇數(shù)個奇數(shù)相加永遠得奇數(shù)，因此7個奇數(shù)相加決不能得36�！蹦林饔眠@個道理欺騙我，企圖抵賴工錢。
他怎樣治服牧主的呢?第一天殺了1只羊，第二天又殺了1只羊，但這只羊他只是輕輕地捅了一刀，沒有殺死。第三天，他去問牧主：“沒殺死的羊，一定要殺死嗎?”牧主回答：“當(dāng)然要殺死了�！庇谑堑谌�，他殺了3只羊。(包括第二天沒殺死的那只羊。)以后每天殺羊的數(shù)分別是5，7，9，11，一共是36只羊。即1、1、3、5、7、9、11。
例4 某月份內(nèi)有五個星期天，其中三個星期天的日期是偶數(shù)，兩個星期天的日期是奇數(shù)。問這個月里哪幾天是星期日。
解：每月內(nèi)相鄰兩個星期天的日期，必定一個為奇數(shù)，一個為偶數(shù)。因此，這個月份內(nèi)星期天的日期一定為：偶數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)。每月最多是31天，所以第一個星期天只能是2號。由此容易推出其余四個星期天是9、16、23、30。
例5“從小愛數(shù)學(xué)”邀請賽題：4只同樣的瓶子分別裝有一定數(shù)量的油。每瓶和其他各瓶分別合稱一次，記錄千克數(shù)如下：8，9，10，11，12，13。已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均為質(zhì)數(shù)，求最重的兩瓶內(nèi)有多少油?
解：由于每只瓶都稱了三次，因此記錄數(shù)據(jù)之和是4瓶油(連瓶)重量之和的3倍，即4瓶油(連瓶)共重
(8+9+10+11+12+13)÷3=21(千克)
而油重之和及瓶重之和均為質(zhì)數(shù)，所以它們必為一奇一偶，由于2是唯一的偶質(zhì)數(shù)，故有
刪去。
小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全之巧妙解題方法（十二）
文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數(shù)學(xué)頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學(xué)們更好的去學(xué)習(xí)這些知識。
巧想倍數(shù)
例1 2臺織布機4小時織布100米。照這樣計算，5臺織布機6小時可以織布多少米?
一般解法：
先求出1臺1小時織布多少米，再求5臺6小時織布多少米。即
100÷4÷2×5×6=375(米)
從同類量的相互倍數(shù)關(guān)系想：因為每臺織布機工作效率相同，所以可先分別算出織布機臺數(shù)及織布時間之間的倍數(shù)關(guān)系。即
100×(5÷2)×(6÷4)=375(米)
例2 你往缸里倒水，如果每分鐘增加1倍，10分鐘時缸滿了。請問幾分鐘時缸中的水是半滿?
解：缸滿的水量，是半滿水量的1倍，所以由半滿到缸滿要1分鐘，而半滿時用了
10-1=9(分鐘)
例3(第二屆“從小愛數(shù)學(xué)”邀請賽試題)有一本故事書，每2頁文字之間有3頁插圖，也就是說3頁插圖前后各有一頁文字。(1)假如這本書有96頁，而第一頁是插圖，這本書共有插圖多少頁?(2)假如這本書有99頁，而第一頁是插圖，這本書共有插圖多少頁?說明理由。
解：書是按……文字、插圖、插圖、插圖、文字、插圖、插圖、插圖、文字、……排列的。實際上是一張文字、三張插圖交替排列。
(1)因為96剛好是4的倍數(shù)，所以這本書共有插圖：
3×(96÷4)=72(頁)
(2)99不是4的倍數(shù)，但我們已知96頁中有72頁是插圖，其余3頁只可能有以下幾種情況：插、插、插;插、插、文;插、文、插。即余下3頁中可能有2頁插圖，也可能有3頁插圖。這樣，可以知道這本書可能有74頁插圖，也可能有75頁插圖。
例4 校園里種了兩種樹，松樹48棵，柏樹的棵數(shù)是松樹的3倍，兩種樹各占總數(shù)的百分之幾?
一般解法：先求出兩種樹的總棵數(shù)，再分別求各占總數(shù)的百分之幾。
松樹：48÷〔48×(3+1)〕=25%
柏樹：(48×3)÷〔48×(3+1)〕= 75%
巧解法：把松樹棵數(shù)看作“1”，柏樹是松樹的3倍，總數(shù)就是(1+3)。
松樹占總數(shù)的1÷(1+3)=25%
柏樹占總數(shù)的3÷(1+3)=75%
或 1-25%=75%
例5 首屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試題，筆試第一試第9題：一小和二小有同樣多的同學(xué)參加金杯賽。學(xué)校用汽車把學(xué)生送往考場。一小用的汽車，每車坐15人，二小的汽車，每車坐13人。結(jié)果二小比一小要多派一輛汽車。后來每校各增加一個人參加競賽，這樣兩校需要的汽車就一樣多了。最后又決定每校再各增加一個人參加競賽，二小又要比一小多派一輛汽車。問最后兩校共有多少人參加競賽?
解：根據(jù)一小第一次增加一個人就要增加一輛汽車，斷定原來各車均已坐滿，即人數(shù)是15的倍數(shù);而二小第一次增加一個人車數(shù)卻不變，第二次再增加一個人才增加一輛車，說明原來有一輛車差一人沒坐滿，即人數(shù)比13的倍數(shù)少1。試算發(fā)現(xiàn)，同時滿足這兩個條件的只有90，于是得出最后兩校參加競賽的共為
(90+2)×2=184(人)
例6 第五屆“從小愛數(shù)學(xué)”邀請賽試題，3題：桌面上原有硬紙片5張。從中取出若干張來，并將每張都任意剪成7張較小的紙片，然后放回桌面。像這樣，取出，剪小，放回，再取出，剪小，放回……是否可能在某次放回后，桌上的紙片數(shù)剛好是1991?
解：每次放回后，桌面上的紙片數(shù)一定是6的倍數(shù)加5，而1991=6×331+5，所以可能。
例7 美國小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克(1984～1985)第一次(1984年11月)4題：一個由12人組成的夏令營小組到達營地時，帶有足夠食用8天的食品，這時又有4人臨時趕來參加他們的活動，但沒帶任何食物。如果每人每天仍按原來的計劃分配食物，試求所帶的食品現(xiàn)在能夠食用多少天。
解：所帶食物是1個人一天配給量的12×8=96(倍)，它能維持16個人食用
96÷16=6(天)
例8 兩倉庫共存食品240噸。已知甲庫的20%與乙?guī)斓?2%恰好等于36噸。求兩庫各存食品多少噸?解：據(jù)此題的特殊結(jié)構(gòu)，將各分率與對應(yīng)量同時擴大5倍，則甲的分率為100%。
甲率 乙率 對應(yīng)量
(20%+12%)×5—→36×5(噸)
即 100%+60% —→180(噸)
由此可知，乙?guī)齑媸称返?/p>
40%是240-180=60噸
所以 乙?guī)齑?0÷(1-60%)=150(噸)
甲庫存240-150=90(噸)
小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全之巧妙解題方法（十一）[1]
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巧填兩個真分數(shù)之間的分數(shù)
兩個真分數(shù)之間的分數(shù)是無窮的，這里給出幾種簡便填法。
數(shù)，下同)。
且兩個分數(shù)是真分數(shù)，
且兩個分數(shù)為真分數(shù)，則a>b，
即 bc-ad<0，
因為 a、b、c、d是正數(shù)，故 ac>0，a(a+c)>0，c(a+c)>0，
(5)根據(jù)“大小兩數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，必大于小數(shù)而小于大數(shù)。”求
符合要求。
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(6)倍乘法
若插入“四個數(shù)”，就把它們各擴大“五倍”，即倍數(shù)比插入數(shù)多1。
(7)化為小數(shù)
顯然，0.75～0.8之間的數(shù)是無窮的。
(8)反復(fù)通分
(9)變分子相同
故知所求數(shù)依次為
(個)符合要求的分數(shù)。如果擴大3倍，則得(63-55)×3-1=23(個)。
(10)化為百分數(shù)
(11)單位“1”法
把兩個分數(shù)中的任意一個看作“1”，求出另一個分數(shù)占單位“ 1”的幾分之幾，取所得分數(shù)分子與分母的中間數(shù)作分子，分母不變，再乘以單位“1”即得問題的解。
(12)數(shù)軸法
都滿足條件。
件
數(shù))，取其中的m份(m＜n)，一般表達式
所以該題的解為：
n的取值無限，其解無窮。
假設(shè)m=2，n=3，則
上是關(guān)系有理數(shù)集的稠密性的問題——任意兩個不同的有理數(shù)之間存在著無窮多個有理數(shù)。
小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全之巧妙解題方法（十）
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巧試商
(1)定位打點
首先用打點的方法定出商的最高位。
其次用除數(shù)的最高位去除被除數(shù)的前一位(如果被除數(shù)的前一位不夠，就除被除數(shù)的前兩位)。
最后換位調(diào)商。試商后，如果除數(shù)和商相乘的積比被除數(shù)大時，將試商減1;小時，且余數(shù)比除數(shù)大，將試商加1.例略。
(2)比積法
就是在求得商的最高位后，以后試商時，把被除數(shù)和已得的商與除數(shù)之積比較，從而確定該位上的商。常可一次試商獲得成功，從而提高解題速度，還可培養(yǎng)學(xué)生的比較判斷能力。
例如，9072÷252=36.
十位上商3，得積756.在個位上試商時，只要把1512與756相比較，便知1512是756的2倍，故商的個位應(yīng)是3的2倍6.特別是當(dāng)商中有相同數(shù)字時，更方便。
本題在個位上試商時，只要把1268與1256相比較，便知應(yīng)為8，且很快寫出積1256，從而得到余數(shù)12.
(3)四舍五入法
除數(shù)是兩、三位數(shù)的除法。根據(jù)除數(shù)“四舍五入”的試商方法，常需調(diào)商。若改為“四舍一般要減一，五入一般要加一”，�？梢淮味ㄉ獭�
例如，175÷24，除數(shù)24看作20，被除數(shù)175，初商得8，直接寫商7.
2299÷382，382可看作400，上商5，積是2000.接近2299，但結(jié)果商還是小，可直接寫商6.
(4)三段試商法
把兩位數(shù)的除數(shù)的個位數(shù)1—9九個數(shù)字，分為“1、2、3”、“4、5、6”、“7、8、9”三段來處理。
當(dāng)除數(shù)的個位數(shù)是1、2、3時，用去尾法試商(把1、2、3舍去)。
商。
當(dāng)除數(shù)個位數(shù)是4、5、6時，先用進一法試商，再用去尾法試商，然
商為8，取6—8之間的“7”為準確商。如果兩次初
是初商6、7中的“6”.
(5)高位試低位調(diào)
用除數(shù)最高位上的數(shù)去估商，再用較低位上的數(shù)調(diào)整商。例如：513÷73=7的試商調(diào)商過程如下。
A.用除數(shù)十位上的7去除被除數(shù)的前兩位數(shù)51，初商為7;
B.用除數(shù)個位上的3調(diào)商：從513中 去減7與70的積490，余23，23比初商7 與除數(shù)個位數(shù)3的積21大，故初商準確，為7.
如果283÷46時，用除數(shù)高位上的4去除28，初商為7，用除數(shù)個位6調(diào)商，從283中減去7與40的積余3，3比7與除數(shù)個位數(shù)6的積42小，初商則過大。調(diào)為6.
這種試商方法簡便迅速，初商出得快，由于“低位調(diào)”，準確商也找得準。同時，由于用除數(shù)最高位上的數(shù)去估商時，初商只存在過大的情況，調(diào)整初商時只需要調(diào)小，這樣，調(diào)商也較快。
但是，有時在采用這種方法試商時，初商與準確商仍存在著差距過大的
調(diào)商，從181中減去6與30的積，余1，1比6與7的積小，照理應(yīng)將初商調(diào)為5，因為1比42小41，而41>37，為了減少調(diào)商次數(shù)，直接將初商調(diào)為“4”，稱為“跳調(diào)”。這樣便于較快地找出準確商。
(6)靠五法
對除數(shù)不大接近于整十?dāng)?shù)、整百數(shù)的.，如9424÷152，不論用舍法或者入法，都要兩次調(diào)商。如果我們把除數(shù)152看作150，即不是用四舍五入法，而是向五靠，一般能減少試商次數(shù)，甚至可以一次定商。
(7)同頭無除
當(dāng)被除數(shù)和除數(shù)的最高位數(shù)字相同，而被除數(shù)的次高位數(shù)字又比除數(shù)次高位數(shù)字小的，例如3368÷354=9……，1456÷182=8，一般的就用“同頭無除商8、9”.
(8)半除
被除數(shù)的前一位或兩位數(shù)正好是除數(shù)前兩位數(shù)的一半或接近一半的，例如965÷193=5，1305÷261=5，一般用“半除商5”.
(9)一次定商法
對確定每一位商，分四步進行：
第一步，用5作基商，先求出除數(shù)的5倍是多少;
第二步，求差數(shù)，即求出被除到的數(shù)與除數(shù)的5倍的差數(shù);
第三步，求差商，差數(shù)÷除數(shù)=“差商”;
第四步，定商，若差數(shù)>0，當(dāng)差商是幾，定商為“5+幾”，若差數(shù)<0，當(dāng)差商是幾，定商為“5-幾”。
例如：517998÷678=764……6
(1)先從高位算起，定第一位商7.
先求除數(shù)的5倍：678×5=3390求差商(5179-3390)÷678=2……;
定商 5+2=7;
(2)定第二位商6.
差商(4339-3390)÷678=1……
定商 5+1=6;
(3)定第三位商4.
被除數(shù)與除數(shù)5倍的差小于0，差商不足1，
定商5-1=4，即2718÷678的商定為4.
對于上述一次定商法，在定商的過程中，如果被除到的數(shù)是除數(shù)的1倍或2倍，可以直接定商，不必拘泥于上面四步。
小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全之巧妙解題方法（九）
文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數(shù)學(xué)頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學(xué)們更好的去學(xué)習(xí)這些知識。
巧設(shè)條件
有些題數(shù)量關(guān)系抽象，猛一看去甚至覺得條件“不充分”。若把題變?yōu)椤翱吹靡�，摸得著”，則易為學(xué)生理解接受。
例1 制造某種機器零件的時間甲比乙少用1/4，那么，甲比乙的工作效率高( )%.
若假設(shè)乙加工這種零件要8小時(是4的倍數(shù)計算方便)，那么，甲加工
如果設(shè)乙加工這種零件要4分鐘，那么，他每小時加工15個;甲用的時間比乙少1/4，只需要3分鐘，他每小時能加工20個。這樣，就更簡捷了。
(20—15)÷15≈33.3%.
設(shè)正方形的邊長為6個長度單位(6是2和3的最小公倍數(shù))，則
例3 甲數(shù)比乙數(shù)多25%，乙數(shù)比甲數(shù)少( )%.
數(shù)少
例4 一組題。
(1)一個正方形體的棱長擴大2倍，那么它的體積就擴大( )倍，表面積擴大( )倍。
假設(shè)原正方體的棱長為1個單位長度，其體積為1×1×1，表面積為1×1×6;擴大后的棱長為2，體積為23、表面積為22×6。再通過比較就可得出結(jié)果。
(2)大圓半徑是小圓半徑的3倍，大圓周長是小圓周長的( )倍，小圓
假定小圓半徑為1，則大圓半徑為3。
與小圓面積的比是( )。
假設(shè)陰影部分的面積為6，代入計算比直接利用兩個“分率”推導(dǎo)易理解。
求小明比小方高多少，就是求168cm的1/6+1，即高出24cm.
小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全之巧妙解題方法（八）[1]
文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數(shù)學(xué)頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學(xué)們更好的去學(xué)習(xí)這些知識。
巧求最小公倍數(shù)
求最小公倍數(shù)要根據(jù)具體題，靈活選用最佳方法。
(1)倍數(shù)查找法
例如，求6和9的最小公倍數(shù)。
分別求出要求最小公倍數(shù)的那幾個數(shù)的一些公倍數(shù)，從中找出相同的且最小的一個。
6的倍數(shù)有：6、12、18、24……
9的倍數(shù)有：9、18、27、36……
則[6，9]=18.
(2)約分法
(證明略)
例如，求84與36的最小公倍數(shù)。
[84， 36]=3×84=252或 36×7=252
經(jīng)逐次約分后，分數(shù)線上下形成了兩列數(shù)，從這兩列數(shù)的“頭乘頭或尾乘尾”即可得出原先兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。
(3)短除法
[15，30，40]=5×3×2×4=120.
用短除法求最小公倍數(shù)最好用質(zhì)數(shù)去試除，否則易出錯。如：
∴ [15，30，40]=10×3×5×4=600.
因為用合數(shù)去除，相當(dāng)于用2除再用5除，而15雖然不能被10整除，卻可以被5整除。如果用10去除，就少用5去除，使結(jié)果擴大5倍。這是錯誤的。
此法也不是非要用質(zhì)數(shù)去試除不可。例如，下面兩式都是對的。
2×2×3×5×4 4×3×5×4
=240 =240
這是因為12、60和16既有公約數(shù)2，也有公約數(shù)4。用較大的公約數(shù)去除，能減少運算步驟，應(yīng)靈活選用。
(4)歸類法
成倍數(shù)關(guān)系的幾個數(shù)，最大的那個是它們的最小公倍數(shù)。
例如，12、15和60成倍數(shù)關(guān)系，即12與15分別是60的約數(shù)。
則[12，15，60]=60
如果三個數(shù)兩兩互質(zhì)，其積是它們的最小公倍數(shù)。
例如，3、4和5，3和4、3和5，4和5都是互質(zhì)數(shù)。
則[3，4，5]=3×4×5=60.
如果三個數(shù)當(dāng)中只有兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，那么其中較大的數(shù)與另外一個數(shù)的最小公倍數(shù)，就是這三個數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如，8和4是倍數(shù)關(guān)系，較大數(shù)8和3的最小公倍數(shù)是24.
則[8，4，3]=24.
(5)翻倍法
當(dāng)幾個數(shù)之間不存在倍數(shù)關(guān)系或互質(zhì)關(guān)系，要找它們的最小公倍數(shù)時，用兩個(或兩個以上)數(shù)中較大的那個數(shù)依次乘以2、3、4、5……求得“最先積”如果是另一個數(shù)(或另幾個數(shù))的倍數(shù)時，這個“最先積”就是所求的最小公倍數(shù)。
例如，求30、35和70的最小公倍數(shù)。
因為70是三個數(shù)中較大的數(shù)，用70依次去乘以2、3、4……得出積是70×2=140，70×3=210，70×4=280……而210是30、35和70的倍數(shù)中的“最先積”，所以
[30，35，70]=210.
(6)用商法
先把兩個數(shù)寫成除法的形式，大數(shù)作被除數(shù)，小數(shù)作除數(shù)(除數(shù)為大于1的自然數(shù))，所得的商寫成最簡分數(shù)。這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)等于被除數(shù)乘以商的分母。
例如，求64與48的最小公倍數(shù)。
64×3=192
∴[64，48]=192.
(7)口訣法
例如，求18和24的最小公倍數(shù)。
乘法口訣：“三六一十八(3×6=18)，四六二十四(4×6=24)”。6是它們的公約數(shù)，3和4是互質(zhì)數(shù)。
則[18， 24]=6×3×4=72.
(8)最簡分數(shù)法
例如，求84和63的最小公倍數(shù)。
寫為真分數(shù)，化為最簡分數(shù)。原分數(shù)的分子(或分母)乘以最簡分數(shù)的分母(或分子)。
63×4=252或 3×84=252.
則[84，63]=252.
再如，求36、40和44的最小公倍數(shù)。
[36，40]=360.
[44，360]=3960.
則[36，40，44]=3960.
(9)特征法
例如，求24和30的最小公倍數(shù)。
根據(jù)24和30能被2整除的特征，記下2;
再根據(jù)都能被3整除，記下3.
2乘3得6，24和30分別除以6商為4、5，4和5互質(zhì)。則[24，30]=6×4×5=120.
(10)定理法
定理：兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。等于這兩個數(shù)的乘積除以它們的最大公約數(shù)。
這里的數(shù)都是自然數(shù)，即：
此定理的證明對小學(xué)教師來講，應(yīng)予以掌握，以居高臨一般書中介紹的證法不易掌握，這里給出兩種簡便證法。
證明：?∵(a，b)|b，
∵a|[a，b]，b|[a，b]，
存在正整數(shù)m，n，
使[a，b]=am…(1)
[a，b]=bn…(2) [2]
∴ k=1，
[1]數(shù)的整除定理3：如果b|a1，那么b|(a1a2…an)。(n>1)
[2]最小公倍數(shù)的性質(zhì)1：如果[a，b]=m，n是a、b的任意一個公倍數(shù)，那么m|n.
[3]最大公約數(shù)的性質(zhì)2，如果[a，b]=c，那么(a÷c，b÷c)=1.
(見《算術(shù)基礎(chǔ)理論》)
證明：設(shè)(a，b)=t，
則a=t·p1，b=t·p2，其中(p1，p2)=1，
則有[a，b]=[t·p1，t·p2]
=t· p1·p2.
例1 求44和64的最小公倍數(shù)。
這種方法雖然計算較復(fù)雜，但優(yōu)點是在求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的同時，復(fù)習(xí)了求最大公約數(shù)。如果習(xí)題既要求求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，又要求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，那就更顯示出其優(yōu)越性。
例2 a、b的最大公約數(shù)是15，最小公倍數(shù)是225，求a、b各是多少?
又因(a，b)=15，所以
a=15p1，b=15p2，且(p1，p2)=1，
于是15p1·15p2=225×15，所以
p1·p2=15，其中(p1，p2)=1.
由此得
例3整數(shù)a、b之積為9408，它們的最小公倍數(shù)是336，求a、b.
因a·b=9408，[a，b]=336及上述定理得
設(shè)a=28p1，b=28p2，(p1，p2)=1，于是ab=282·p1·p2=9408，
p1· p2=12，(p1，p2)=1.
由此得
文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數(shù)學(xué)頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學(xué)們更好的去學(xué)習(xí)這些知識。
(11)比例法
把要求最小公倍數(shù)的兩個數(shù)看作一個比的前項和后項，再將這個比化簡，使其成為一個比例。這個比例內(nèi)項(或外項)的積，即為所求。
例如，求34與51的最小公倍數(shù)。
34∶51=2∶3
則[34，51]=34×3=102.
(12)擴倍法
把最大數(shù)擴大到能被另外兩個數(shù)整除，擴大的倍數(shù)與最大數(shù)的積就是要求的最小公倍數(shù)。
例如，
∵60×4=240，240÷16=15，240÷24=10，
∴[16，24，60]=60×4=240.
(13)求差取積法
此法分三種情況，這里分別給出兩種證明方法，第二種證法簡捷。
一、兩個數(shù)的差小于減數(shù)
先求兩數(shù)之差，然后用差作除數(shù)，去除減數(shù)，再用所得的商乘以被減數(shù)，所得的積就是原兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如，求12與15的最小公倍數(shù)。
15-12=3，12÷3=4，
15×4=60.
則[12，15]=60.
證法一：(下面的字母都表示自然數(shù))
設(shè)兩個數(shù) a、b，a-b=c，且 0<C<B。< p>
如果b÷c=q，則aq=[a，b].
證明：∵ a-b=c，∴a=b+c，
又∵b÷c=q，∴b=c·q，
∴ aq=(b+c)· q=(c· q+c)· q
=(q+1)·cq=(q+1)·b，
∴b|aq.
又∵a|aq，∴aq是a，b的公倍數(shù)。
設(shè) m=[a，b]，則aq=km。
∵a|m、ak|mk、ak|ap，∴k| q.
又∵ b|m、bk|mk、bk|aq，即 cq· k|(q+1)· cq，
∴ k|(q+1)，顯然(q，q+1)=1，
∴k=1，
∴ aq=m=[a，b].
證法二：
如果a-b=c，c<B，B÷C=D，< p>
那么[a，b]=ad.
證明：∵a-b=c，且c<B，< p>
∴a÷b=1(余c).
又∵b÷c=d，
∴(a，b)=(b，c)=c.(輾轉(zhuǎn)相除法所依據(jù)的兩個定理)
二、兩個數(shù)的差大于減數(shù)。
若兩個數(shù)的差大于減數(shù)時，可以先把減數(shù)擴大若干倍，使減數(shù)接近被減數(shù)，然后再按上述方法求出這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如，求42與105的最小公倍數(shù)。
42×2=84 105-84=21
42÷21=2 105×2=210
則[42，105]=210
證法一：
設(shè)兩個數(shù) a、b，且 a-b>b，則將b擴大 k倍(k是大于 1的自然數(shù))，使 0
如果b÷c=q，那么aq=[a，b].
證明：∵ a-kb=c∴ a=kb+c，
∵ b÷C=q∴b=cq，
∴ a=kb+c=kcq+c=(kq+1)· c，
aq=(kq+1)c· q=(kq+1)· cq
=(kq+1)· b，
∴ b|aq.
又∵a|aq，∴aq是a與b的公倍數(shù)。
設(shè)[a，b]=m，則aq=pm(p是自然數(shù))。
∵a|m、ap|pm、ap|aq、p|q，
b|m、bp|pm、(qc)·p|(kq+1)·cq，
∴ p|(kq+1).
∵(q， kq +1)= 1，∴ p= 1，
∴ aq=pm=[a，b].
證法二：
如果 a-nb=c，c<B，B÷C=D，< p>
那么[a，b]=ad.
證明：∵ a-nb=c，且 c<B，< p>
∴ a÷b=n(余 c).
又∵b÷c=d，
∴(a，b)=(b，c)=c.
三、兩個數(shù)的差不能整除減數(shù)。
如果兩個數(shù)的差不能整除減數(shù)時，可用差的約數(shù)(從大到小試除)作除數(shù)，然后再按上述方法求出兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。
例如：求189與135的最小公倍數(shù)。
189-135=54∵54 135，
54的約數(shù)有 27、18……
∵135÷27=5，
189×5=945，
則[189，135]=945.
如果兩數(shù)差等于減數(shù)時，這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是被減數(shù)。
證法一：
設(shè)兩個數(shù)a、b，a-b=c，且c b，c的約數(shù)為c1、c2…，cn其中ci是這些約數(shù)中能整除b的最大一個。
令b÷ci=q，則aq=[a，b].
證明：設(shè)c÷ci=d，則c=cid.
又∵a-b=c，∴a=b+c，
∵ b÷ci=q，∴b=ci·q.
aq=(b+c)·q=(ciq+cid)·q=(q+d)·ciq
=(q+d)· b，
∴ b|aq。又∵ a|aq，∴ aq是a、b的公倍數(shù)。
同樣設(shè)[a，b]=m，則aq=km.
∵a|m、ak|km、ak|aq，∴k|q，
∵b|m、bk|km、bk|aq，∴ bk|(q+d)·b，
∴k|(q+d).
∵(q，q+d)=1[設(shè)q，q+d]≠1，令(q，q+d)=n(n 是大于1的自然數(shù))，那么
q= n· q1，
q+d=n· q2，
d=nq2-q=nq2-nq1=n(q2-q1)，
∴b=ci· q=ci· nq1，
c=cid=cin(q2-q1)，
∴ cin是c的約數(shù)，cin|b且cin>ci.
這與已知ci是c的約數(shù)中能整除b的最大一個相矛盾，∴ (q，q+d)= 1.
∴ k=1，∴aq=m=[a，b].
證法二：
如果a-b=c，c<B，(B，C)=D，< p>
b=dm，
那么[a，b]=am.
證明：∵ a-b=c，且c<B，< p>
∴ a÷b=1(余c).
又∵(b，c)=d，
∴(a，b)=(b，c)=d.
又∵ b=dm，
(14)巧檢驗兩數(shù)最小公倍數(shù)
求兩數(shù)的最小公倍數(shù)是《數(shù)的整除》這一單元的重點內(nèi)容。用這兩個數(shù)與它們分解質(zhì)因數(shù)結(jié)果互質(zhì)的兩個數(shù)交叉相乘，看所得的積是否等于所求得結(jié)果，來判斷這結(jié)果是不是它們的最小公倍數(shù)。
例如，求32和40的最小公倍數(shù)。
[3，40]=160.
檢驗：
由于32×5=160或40×4=160，所以160是32和42的最小公倍數(shù)正確。
小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全之巧妙解題方法（七）
文章摘要：使用正確的解題方法不但可以大大加快解題的速度而且可以提高解題的正確率。為此，數(shù)學(xué)頻道編輯部整理了一些巧妙的解題方法，以便同學(xué)們更好的去學(xué)習(xí)這些知識。
巧記分數(shù)化小數(shù)的結(jié)果
記熟一些分數(shù)化小數(shù)的結(jié)果，對提高分數(shù)、小數(shù)四則運算和分數(shù)化小數(shù)的速度有很大幫助。
0.75，這幾個分數(shù)比較常見易記。其他的只要找到竅門，記熟也不難。
分母是5的最簡分數(shù)：把分子乘以2，再縮小10倍。
分子是1，分母是大于5的質(zhì)數(shù)，可以用下面的方法：
把分子1化為0.9999……，直到依次把9“除盡”，商便是循環(huán)小數(shù)。例如：
由于被除數(shù)各位上的數(shù)都是9，減積時不需要退位，就能使計算比較簡便。
如果分子不是1，可先把分子是1的分數(shù)化為循環(huán)小數(shù)，再乘以原來的分子。例如：
乘以原來的分子得：
(如圖)分子是1，就從這六個數(shù)字中 最小的一個起排六個數(shù)字;分子是2，就從這六個數(shù)字中第二小的一個起排六個數(shù)字，依此類推。分母是8的最簡分數(shù)：分子是1，小數(shù)的第一位也是1;分子是3，小數(shù)的第一位也是3。即
分母是9的最簡分數(shù)：它的結(jié)果都是一個循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)的數(shù)字和分子的數(shù)字相同。
分母是10的最簡分數(shù)：把分子縮小10倍即可。
分母是20的最簡分數(shù)：把分子擴大5倍，再縮小100倍。
分母是25的最簡分數(shù)：把分子擴大4倍，再縮小100倍。
分母是50的最簡分數(shù)：把分子擴大2倍，再縮小100倍。
根據(jù)分數(shù)單位的小數(shù)值，用乘法把分數(shù)化成小數(shù)。比用除法簡捷。
不難發(fā)現(xiàn)，這些題的商，全部是循環(huán)小數(shù)，1÷11的商的循環(huán)節(jié)是09，2÷11商的循環(huán)節(jié)是2個9，即18，3÷11商的循環(huán)節(jié)是3個9，即27……”。這樣，你只要看到題目，根據(jù)規(guī)律，馬上就可想出它們的商。
例如，7÷11，它的商是循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)是7個9，即63。
被除數(shù)超過10，可分兩步思考：
第一步是先用口算求出商的整數(shù)部分;第二步是再看求出商的整數(shù)部分后的余數(shù)是幾，根據(jù)余數(shù)寫出商的循環(huán)節(jié)。
例如，72÷11，先求商的整數(shù)部分是6，再看它的余數(shù)是6，可斷定
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