數(shù)學(xué)思想與方法練習(xí)題
特殊與一般的數(shù)學(xué)思想：對(duì)于在一般情況下難以求解的問(wèn)題，可運(yùn)用特殊化思想，通過(guò)取特殊值、特殊圖形等，找到解題的規(guī)律和方法，進(jìn)而推廣到一般，從而使問(wèn)題順利求解。以下是數(shù)學(xué)思想與方法練習(xí)題，歡迎閱讀。
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共計(jì)60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．若a＞b＞1，P＝lg alg b，Q＝12(lg a＋lg b)，R＝lga＋b2，則
A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R
C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q
【解析】 取a＝100，b＝10，
此時(shí)P＝2，Q＝32＝lg1 000，R＝lg 55＝lg 3 025，比較可知P＜Q＜R.
【答案】 B
2．(2010龍巖模擬)設(shè)(3x＋1)25＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a25x25，則|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋…－|a25|等于
A．225 B．－225
C．425 D．－425
【解析】 (3x＋1)25＝(1＋3x)25展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)都為正，故|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋…－|a25|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a25，所以只須令x＝－1即可．
【答案】 B
3．(2010泉州模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A(3,1)，B(－1,3)，若點(diǎn)C滿足OC→＝αOA→＋βOB→，其中α，β∈R，且α＋β＝1，則點(diǎn)C的軌跡方程為
A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－2)2＝5
C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0
【解析】 通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算把OC→＝αOA→＋βOB→轉(zhuǎn)化為
消去α得x＋2y－5＝0.
【答案】 D
4．如圖，△OAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，直線x＝t截這個(gè)三角形位于此直線左方的圖形面積(見(jiàn)圖中陰影部分)為y，則函數(shù)y＝f(t)的大致圖象為
C. D.
【解析】 當(dāng)t＝1時(shí)，面積為32，故排除A、B，當(dāng)t＞1時(shí)，隨t增大，面積增大越來(lái)越慢．
【答案】 D
5．(2010蕪湖質(zhì)檢)4枝牡丹花與5枝月季花的價(jià)格之和小于22元，而6枝牡丹花與3枝月季花的價(jià)格之和大于24元，則2枝牡丹花和3枝月季花的價(jià)格比較結(jié)果是
A．2枝牡丹花貴 B．3枝月季花貴
C．相同 D．不確定
【解析】 由已知設(shè)牡丹花一枝x元，月季花一枝y元，則
作出可行域和目標(biāo)函數(shù)t＝2x－3y，可求得2x－3y＞0，故選A.
體現(xiàn)了實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)理論的轉(zhuǎn)化．
【答案】 A
6．(2010聊城模擬)設(shè)x∈R，如果a＜lg(|x－3|＋|x＋7|)恒成立，那么
A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)＞1
C．0＜a≤1 D．a(chǎn)＜1
【解析】 要使不等式恒成立，只須求lg(|x－3|＋|x＋7|)的最小值．
∵y＝lg(|x－3|＋|x＋7|)為增函數(shù)，且|x－3|＋|x＋7|的最小值為10，
∴ymin＝lg 10＝1，∴a小于y的最小值．
【答案】 D
7．如果實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＝1，那么(1－xy)(1＋xy)有
A．最小值12和最大值1 B．最小值34而無(wú)最大值
C．最大值1而無(wú)最小值 D．最大值1和最小值34
【解析】 ∵(1－xy)(1＋xy)＝1－x2y2，
∴當(dāng)x＝0或y＝0時(shí)，有最大值1，而x2＋y2≥2xy，
∴x2y2≤14，∴當(dāng)x2＝y(tǒng)2＝12時(shí)，1－x2y2取得最小值34.
【答案】 D
8．(2010三明模擬)已知點(diǎn)P在拋物線y2＝4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q(2，－1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為
A.14，－1 B.14，1
C．(1,2) D．(1，－2)
【解析】 依題意，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，
設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d，則由拋物線的定義知：|PF|＋|PQ|＝d＋|PQ|.
如圖，當(dāng)PQ∥x軸時(shí)， |PF|＋|PQ|最小，此時(shí)P14，－1，故選A.
【答案】 A
9．不等式x2－logax＜0當(dāng)x∈0，12時(shí)恒成立，則a的取值范圍是
A.116≤a＜1 B.116＜a＜1
C．0＜a≤116 D．0＜a＜116
【解析】 構(gòu)造函數(shù)y＝x2與y＝logax，x2－logax＜0，
當(dāng)x∈0，12時(shí)恒成立，
即當(dāng)x∈0，12時(shí)，y＝x2的圖象在y＝logax圖象的下方，
所以首先a＜1.
當(dāng)a＜1時(shí)，如圖，當(dāng)x＝12時(shí)，y＝14即14＝loga12，
∴a＝116，當(dāng)y＝logax圖象繞點(diǎn)(1,0)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)a增大，∴116≤a＜1.
【答案】 A
10．(2010杭州模擬)若2x＋5y≤2－y＋5－x，則有
A．x＋y≥0 B．x＋y≤0
C．x－y≤0 D．x－y≥0
【解析】 把不等式變形為2x－5－x≤2－y－5y，構(gòu)造函數(shù)y＝2x－5－x，其為R上的增函數(shù)，所以有x≤－y，故選B.
【答案】 B
11．(2010信陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)＝13x，等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為f(n)－c，則an的最小值為
A．－1 B．1
C. 23 D．－23
【解析】 a1＝f(1)－c＝13－c，a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29，
a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227.又?jǐn)?shù)列{an}成等比數(shù)列，
所以a1＝a22a3＝481－227＝－23＝13－c，
所以c＝1；
又公比q＝a2a1＝13，
所以an＝－2313n－1＝－213n，n∈N*，
因此，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，n＝1時(shí)，an最小，為－23，選D.
【答案】 D
12．(2010福建質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝1－1－x2，x∈[0,1]，對(duì)于滿足0＜x1＜x2＜1的任意x1，x2，給出下列結(jié)論：
�、�(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＜0；
②f(x2)－f(x1)＞x2－x1；
③f(x1)＋f(x2)2＞fx1＋x22.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是
A．① B．②
C．③ D．①③
【解析】 函數(shù)f(x)＝1－1－x2，x∈[0,1]的圖象如圖所示，
結(jié)論①可等價(jià)為 ，
即f(x)在x∈[0,1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
結(jié)合圖象可知，結(jié)論①錯(cuò)誤；
結(jié)論②可變形為f(x2)－f(x1)x2－x1＞1，
不等式左端的幾何意義是圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率，由圖象知斜率不都大于1，結(jié)論②錯(cuò)誤；
對(duì)于結(jié)論③，觀察圖象可知，
滿足f(x1)＋f(x2)2＞fx1＋x22，
所以結(jié)論③正確．
【答案】 C
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共計(jì)16分．把答案填在題中的橫線上)
13．(2009山東)若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【解析】 設(shè)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)和函數(shù)y＝x＋a，則函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a＞0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，就是函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)的圖象與函數(shù)y＝x＋a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．由圖象可知，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合；當(dāng)a＞1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y＝ax(a＞1)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，而直線y＝x＋a的圖象與y軸的交點(diǎn)一定在點(diǎn)(0,1)的上方，所以一定有兩個(gè)交點(diǎn)．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞1.
【答案】 a＞1
14．(2010天水模擬)若關(guān)于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【解析】 分離變量a＝－22x－12x＋1＝－(2x＋1)－22x＋1＋2≤－22＋2.
【答案】 a∈(－∞，2－22]
15．(2010珠海模擬)已知f(t)＝log2t，t∈[2，8]，對(duì)于f(t)值域內(nèi)的'所有實(shí)數(shù)m，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，則x的取值范圍是________．
【解析】 ∵t∈[2，8]，∴f(t)∈12，3，
原題轉(zhuǎn)化為m(x－2)＋(x－2)2＞0恒成立，
當(dāng)x＝2時(shí)，不等式不成立，
∴x≠2.
令g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈12，3，
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(m)在m∈12，3上恒大于0，則
解得x＞2或x＜－1.
【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
16．直線y＝k(x＋1)＋1(k∈R)與橢圓x25＋y2m＝1恒有公共點(diǎn)，且橢圓焦點(diǎn)在x軸上，則m的取值范圍是________．
【解析】 由橢圓焦點(diǎn)在x軸上，求出m的一個(gè)范圍，由直線與橢圓恒有公共點(diǎn)求出m的另一范圍．
由焦點(diǎn)在x軸上，故m＜5.
又直線過(guò)定點(diǎn)B(－1,1)，此點(diǎn)應(yīng)在橢圓內(nèi)部或邊界上，
所以有(－1)25＋1m≤1，
又m＞0，∴m≥54.
【答案】 54，5
三、解答題(本大題共6小題，共74分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17．(12分)已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q(2,0)和圓C：x2＋y2＝1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)λ(λ＞0)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么樣的曲線．
【解析】 設(shè)M(x，y)，M到圓的切線長(zhǎng)為|MT|，則|MT|＝x2＋y2－1，
則|MT|＝λ|MQ|，得x2＋y2－1＝λ(x－2)2＋y2
兩邊平方整理得(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(4λ2＋1)＝0
當(dāng)λ＝1時(shí)，表示直線x＝54.
當(dāng)λ≠1時(shí)，方程為x－2λ2λ2－12＋y2＝1＋3λ2(λ2－1)2，
M點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)2λ2λ2－1，0為圓心，1＋3λ2|λ2－1|為半徑的圓．
【答案】 (λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(4λ2＋1)＝0 略
18．(12分)(2010陜西)為了解學(xué)生身高情況，某校以10%的比例對(duì)全校700名學(xué)生按性別進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，測(cè)得身高情況的統(tǒng)計(jì)圖如下： (1)估計(jì)該校男生的人數(shù)；
(2)估計(jì)該校學(xué)生身高在170～185 cm之間的概率；
(3)從樣本中身高在165～180 cm之間的女生中任選2人，求至少有1人身高在170～180 cm之間的概率．
【解析】 (1)樣本中男生人數(shù)為40，由分層抽樣比例為10%估計(jì)全校男生人數(shù)為400.
(2)由統(tǒng)計(jì)圖知，樣本中身高在170～185 cm之間的學(xué)生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，樣本容量為70，所以樣本中學(xué)生身高在170～185 cm之間的頻率f＝3570＝0.5，故由f估計(jì)該校學(xué)生身高在170～185 cm之間的概率p＝0.5.
(3)樣本中女生身高在165～180 cm之間的人數(shù)為10，身高在170～180 cm之間的人數(shù)為4.
設(shè)A表示事件“從樣本中身高在165～180 cm之間的女生中任取2人，至少有1人身高在170～180 cm之間”，
則P(A)＝1－C26C210＝23或P(A)＝C16C14＋C24C210＝23.
【答案】 (1)400 (2)0.5 (3)23
19．(12分)(2010云南曲靖一中模擬)已知a、b、c均為正整數(shù)，且a≠1，等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a，公差為b，等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為b，公比為a，且a＜b，b2＜a3，在數(shù)列{an}和{bn}中各存在一項(xiàng)am與bn，使得am＋1＝bn，又cn＝an－143log2b2n＋13.
(1)求a、b的值；
(2)求數(shù)列{cn}中的最小項(xiàng)，并說(shuō)明理由．
【解析】 (1)由b2＜a3，得ab＜a＋2b，
∵1＜a＜b，∴ab＜3b，則1＜a＜3.
又a為正整數(shù)，∴a＝2.
∵am＋1＝bn，∴2＋(m－1)b＋1＝b2n－1，
∴b＝32n－1－m＋1.
∵b∈N*，∴2n－1－m＋1＝1，故b＝3.
(2)∵an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
b2n＋1＝3×22n，
∴cn＝3n－153log222n＝2n(n－5)＝2n2－10n，
∴當(dāng)n＝2或n＝3時(shí)，cn取得最小值－12.
故數(shù)列{cn}中的最小項(xiàng)為c2或c3.
【答案】 (1)a＝2 b＝3 (2)最小項(xiàng)為c2或c3 理由略
20．(12分)某隧道長(zhǎng)a(米)，最高限速為v0(米/秒)．已知一個(gè)勻速行駛的車隊(duì)有10輛車，每輛車長(zhǎng)為l米，相鄰兩車之間距離m(米)與車速v(米/秒)的平方成正比，比例系數(shù)為k.設(shè)自第1輛車車頭進(jìn)隧道至第10輛車車尾離開(kāi)隧道時(shí)所用時(shí)間為t秒．
(1)求函數(shù)t＝f(v)的解析式，并寫出其定義域；
(2)求車隊(duì)通過(guò)隧道的時(shí)間t的最小值，并求出t取得最小值時(shí)v的大�。�
【解析】 (1)依題意有：
t＝f(v)＝a＋10l＋9kv2v(0＜v≤v0)．
(2)t＝f(v)＝a＋10lv＋9kv≥2 9k(a＋10l).
當(dāng)且僅當(dāng)a＋10lv＝9kv，
即v＝ a＋10l9k時(shí)等號(hào)成立．
�、佼�(dāng) a＋10l9k≤v0，v＝ a＋10l9k時(shí)，tmin＝6 k(a＋10l).
�、诋�(dāng) a＋10l9k＞v0時(shí)，
f(v0)－f(v)＝a＋10lv0＋9kv0－a＋10lv＋9kv
＝9k(v－v0)vv0a＋10l9k－v0v.
∵v≤v0，∴v0v≤v20＜a＋10l9k，
∴f(v0)－f(v)≤0.
當(dāng)v＝v0時(shí)，tmin＝a＋10lv0＋9kv0.
【答案】 (1)t＝f(v)＝a＋10l＋9kv2v(0＜v≤v0)
(2)當(dāng) a＋10l9k≤v0時(shí)，tmin＝6 k(a＋10l)，此時(shí)v＝ a＋10l9k.
當(dāng) a＋10l9k＞v0時(shí)，tmin＝a＋10lv0＋9kv0，此時(shí)v＝v0
21．(12分)(2010東北四校聯(lián)考)已知13≤a≤1，若函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋1，在[1,3]上最大值為M(a)，最小值為m(a)，令g(a)＝M(a)－m(a)．
(1)求g(a)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求函數(shù)g(a)的最小值．
【解析】 (1)∵f(x)＝ax－1a2＋1－1a，
∴函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為直線x＝1a.
∵x∈[1,3]且13≤a≤1，即1≤1a≤3.
則①當(dāng)1≤1a≤2即12≤a≤1，x＝1a時(shí)，f(x)有最小值．
m(a)＝f 1a＝1－1a；
當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)有最大值，
即M(a)＝f(3)＝9a－5.
∴g(a)＝M(a)－m(a)＝9a＋1a－6.
②當(dāng)2＜1a≤3即13≤a＜12時(shí)，x＝1a時(shí)，
f(x)有最小值，f(x)min＝m(a)＝1－1a，
當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)max＝M(a)＝a－1
∴g(a)＝M(a)－m(a)＝a＋1a－2
綜上，g(a)＝
(2)當(dāng)12≤a≤1時(shí)，g(a)在12，1上是增函數(shù)，
即g(a)min＝g12＝12.
當(dāng)13≤a≤12時(shí)，g(a)在13，12上是減函數(shù)，
即g(a)min＝g12＝12＋2－2＝12.故g(a)min＝12.
【答案】 (1)g(a)＝
(2)g(a)min＝12
22．(14分) (2010湛江模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋3|x－a|(a＞0)．
(1)當(dāng)a＝1時(shí)，曲線y＝f(x)上P點(diǎn)處的切線與直線x－3y－2＝0垂直，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．
【解析】 (1)∵直線x－3y－2＝0的斜率為13，
∴切線的斜率為－3.
由f(x)＝x3＋3|x－1|得：
當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝x3＋3x－3，f′(x)＝3x2＋3＝－3不成立，∴切線不存在；
當(dāng)x＜1時(shí)，f(x)＝x3－3x＋3，f′(x)＝3x2－3＝－3，∴x＝0，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3)．
(2)當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)＝x3＋3x－3a，f′(x)＝3x2＋3＞0，
∴f(x)單調(diào)遞增．
當(dāng)x＜a時(shí)，f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
若0＜a≤1，f′(x)＝0時(shí)，x＝－1；f′(x)＞0時(shí)，x＜－1；
f′(x)＜0時(shí)，－1＜x＜a；
若a＞1，f′(x)＝0時(shí)，x＝±1；f′(x)＞0時(shí)，x＜－1或1＜x＜a；
f′(x)＜0時(shí)，－1＜x＜1.
綜上可得：當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(a，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，a)；
當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1)，(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,1)．
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