高三數(shù)學(xué)關(guān)于對(duì)稱問(wèn)題分類(lèi)探析的知識(shí)點(diǎn)
一、點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線對(duì)稱點(diǎn)問(wèn)題
1、設(shè)點(diǎn)P（x，y）關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱點(diǎn)為P′（x′，y′），
x′=2a—x
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：y′=2b—y
2、點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線L：Ax+By+C=O的對(duì)稱點(diǎn)為
x′=x—（Ax+By+C）
P′（x′，y′）則
y′=y—（AX+BY+C）
事實(shí)上：∵PP′⊥L及PP′的中點(diǎn)在直線L上，可得：Ax′+By′=—Ax—By—2C
解此方程組可得結(jié)論。
�。ā� ）=—1（B≠0）
特別地，點(diǎn)P（x，y）關(guān)于
1、x軸和y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為（x，—y）和（—x，y）
2、直線x=a和y=a的對(duì)標(biāo)點(diǎn)分別為（2a—x，y）和（x，2a—y）
3、直線y=x和y=—x的對(duì)稱點(diǎn)分別為（y，x）和（—y，—x）
例1 光線從A（3，4）發(fā)出后經(jīng)過(guò)直線x—2y=0反射，再經(jīng)過(guò)y軸反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，5），求射入y軸后的反射線所在的直線方程。
解：如圖，由公式可求得A關(guān)于直線x—2y=0的對(duì)稱點(diǎn)
A′（5，0），B關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B′為（—1，5），直線A′B′的方程為5x+6y—25=0
`C（0， ）
`直線BC的方程為：5x—6y+25=0
二、曲線關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對(duì)稱曲線問(wèn)題
求已知曲線F（x，y）=0關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對(duì)稱曲線方程時(shí)，只須將曲線F（x，y）=O上任意一點(diǎn)（x，y）關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)替換方程F（x，y）=0中相應(yīng)的`作稱即得，由此我們得出以下結(jié)論。
1、曲線F（x，y）=0關(guān)于點(diǎn)（a，b）的對(duì)稱曲線的方程是F（2a—x，2b—y）=0
2、曲線F（x，y）=0關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱的曲線方程是F（x—（Ax+By+C），y—（Ax+By+C））=0
特別地，曲線F（x，y）=0關(guān)于
�。�1）x軸和y軸對(duì)稱的曲線方程分別是F（x，—y）和F（—x，y）=0
�。�2）關(guān)于直線x=a和y=a對(duì)稱的曲線方程分別是F（2a—x，y）=0和F（x，2a—y）=0
�。�3）關(guān)于直線y=x和y=—x對(duì)稱的曲線方程分別是F（y，x）=0和F（—y，—x）=0
除此以外還有以下兩個(gè)結(jié)論：對(duì)函數(shù)y=f（x）的圖象而言，去掉y軸左邊圖象，保留y軸右邊的圖象，并作關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象得到y(tǒng)=f（|x|）的圖象；保留x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去得到y(tǒng)=|f（x）|的圖象。
例2（全國(guó)高考試題）設(shè)曲線C的方程是y=x3—x。將C沿x軸y軸正向分別平行移動(dòng)t，s單位長(zhǎng)度后得曲線C1：
1）寫(xiě)出曲線C1的方程
2）證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A（ ， ）對(duì)稱。
（1）解 知C1的方程為y=（x—t）3—（x—t）+s
�。�2）證明 在曲線C上任取一點(diǎn)B（a，b），設(shè)B1（a1，b1）是B關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)，由a=t—a1，b=s—b1，代入C的方程得：
s—b1=（t—a1）3—（t—a1）
`b1=（a1—t）3—（a1—t）+s
`B1（a1，b1）滿足C1的方程
`B1在曲線C1上，反之易證在曲線C1上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在曲線C上
`曲線C和C1關(guān)于a對(duì)稱
我們用前面的結(jié)論來(lái)證：點(diǎn)P（x，y）關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為P1（t—x，s—y），為了求得C關(guān)于A的對(duì)稱曲線我們將其坐標(biāo)代入C的方程，得：s—y=（t—x）3—（t—x）
`y=（x—t）3—（x—t）+s
此即為C1的方程，`C關(guān)于A的對(duì)稱曲線即為C1。
三、曲線本身的對(duì)稱問(wèn)題
曲線F（x，y）=0為（中心或軸）對(duì)稱曲線的充要條件是曲線F（x，y）=0上任意一點(diǎn)P（x，y）（關(guān)于對(duì)稱中心或?qū)ΨQ軸）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)替換曲線方程中相應(yīng)的坐標(biāo)后方程不變。
例如拋物線y2=—8x上任一點(diǎn)p（x，y）與x軸即y=0的對(duì)稱點(diǎn)p′（x，—y），其坐標(biāo)也滿足方程y2=—8x，`y2=—8x關(guān)于x軸對(duì)稱。
例3 方程xy2—x2y=2x所表示的曲線：
A、關(guān)于y軸對(duì)稱 B、關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱
C、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D、關(guān)于直線x—y=0對(duì)稱
解：在方程中以—x換x，同時(shí)以—y換y得
�。ā獂）（—y）2—（—x）2（—y）=—2x，即xy2—x2y=2x方程不變
`曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
函數(shù)圖象本身關(guān)于直線和點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題我們有如下幾個(gè)重要結(jié)論：
1、函數(shù)f（x）定義線為R，a為常數(shù)，若對(duì)任意x∈R，均有f（a+x）=f（a—x），則y=f（x）的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱。
這是因?yàn)閍+x和a—x這兩點(diǎn)分別列于a的左右兩邊并關(guān)于a對(duì)稱，且其函數(shù)值相等，說(shuō)明這兩點(diǎn)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，由x的任意性可得結(jié)論。
例如對(duì)于f（x）若t∈R均有f（2+t）=f（2—t）則f（x）圖象關(guān)于x=2對(duì)稱。若將條件改為f（1+t）=f（3—t）或 f（t）=f（4—t）結(jié)論又如何呢？第一式中令t=1+m則得f（2+m）=f（2—m）；第二式中令t=2+m，也得f（2+m）=f（2—m），所以仍有同樣結(jié)論即關(guān)于x=2對(duì)稱，由此我們得出以下的更一般的結(jié)論：
2、函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，a、b為常數(shù)，若對(duì)任意x∈R均有f（a+x）=f（b—x），則其圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱。
我們?cè)賮?lái)探討以下問(wèn)題：若將條件改為f（2+t）=—f（2—t）結(jié)論又如何呢？試想如果2改成0的話得f（t）=—f（t）這是奇函數(shù)，圖象關(guān)于（0，0）成中心對(duì)稱，現(xiàn)在是f（2+t）=—f（2—t）造成了平移，由此我們猜想，圖象關(guān)于M（2，0）成中心對(duì)稱。如圖，取點(diǎn) A（2+t，f（2+t））其關(guān)于M（2，0）的對(duì)稱點(diǎn)為A′（2—x，—f（2+x））
∵—f（2+X）=f（2—x）`A′的坐標(biāo)為（2—x，f（2—x））顯然在圖象上
`圖象關(guān)于M（2，0）成中心對(duì)稱。
若將條件改為f（x）=—f（4—x）結(jié)論一樣，推廣至一般可得以下重要結(jié)論：
3、f（X）定義域?yàn)镽，a、b為常數(shù)，若對(duì)任意x∈R均有f（a+x）=—f（b—x），則其圖象關(guān)于點(diǎn)M（，0）成中心對(duì)稱。
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