奧數(shù)稱球問(wèn)題
【編者按】稱球問(wèn)題是一類傳統(tǒng)的趣味數(shù)學(xué)問(wèn)題，它鍛煉著一代又一代人的智力，歷久不衰。下面幾道稱球趣題，請(qǐng)你先仔細(xì)考慮一番，然后再閱讀解答，想來(lái)你一定會(huì)有所收獲。
[專題介紹]
稱球問(wèn)題是一類傳統(tǒng)的趣味數(shù)學(xué)問(wèn)題，它鍛煉著一代又一代人的`智力，歷久不衰。下面幾道稱球趣題，請(qǐng)你先仔細(xì)考慮一番，然后再閱讀解答，想來(lái)你一定會(huì)有所收獲。
[經(jīng)典例題]
例1有4堆外表上一樣的球，每堆4個(gè)。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每個(gè)重10克，次品球每個(gè)重11克，請(qǐng)你用天平只稱一次，把是次品的那堆找出來(lái)。
解：依次從第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4個(gè)球，這10個(gè)球一起放到天平上去稱，總重量比100克多幾克，第幾堆就是次品球。
例2有27個(gè)外表上一樣的球，其中只有一個(gè)是次品，重量比正品輕，請(qǐng)你用天平只稱三次(不用砝碼)，把次品球找出來(lái)。
解：第一次：把27個(gè)球分為三堆，每堆9個(gè)，取其中兩堆分別放在天平的兩個(gè)盤上。若天平不平衡，可找到較輕的一堆;若天平平衡，則剩下來(lái)稱的一堆必定較輕，次品必在較輕的一堆中。
第二次：把第一次判定為較輕的一堆又分成三堆，每堆3個(gè)球，按上法稱其中兩堆，又可找出次品在其中較輕的那一堆。
第三次：從第二次找出的較輕的一堆3個(gè)球中取出2個(gè)稱一次，若天平不平衡，則較輕的就是次品，若天平平衡，則剩下一個(gè)未稱的就是次品。
例3把10個(gè)外表上一樣的球，其中只有一個(gè)是次品，請(qǐng)你用天平只稱三次，把次品找出來(lái)。
解：把10個(gè)球分成3個(gè)、3個(gè)、3個(gè)、1個(gè)四組，將四組球及其重量分別用A、B、C、D表示。把A、B兩組分別放在天平的兩個(gè)盤上去稱，則
(1)若A=B，則A、B中都是正品，再稱B、C。如B=C，顯然D中的那個(gè)球是次品;如B>C，則次品在C中且次品比正品輕，再在C中取出2個(gè)球來(lái)稱，便可得出結(jié)論。如BC的情況也可得出結(jié)論。
(2)若A>B，則C、D中都是正品，再稱B、C，則有B=C，或BC不可能，為什么?)如B=C，則次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2個(gè)球來(lái)稱，便可得出結(jié)論;如B
(3)若AB的情況，可分析得出結(jié)論。
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