關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法研究的對(duì)象與范圍
一、數(shù)學(xué)思想方法的歷史演進(jìn)
對(duì)數(shù)學(xué)思想方法作為歷史的考察，并分析其演變、發(fā)展的規(guī)律是數(shù)學(xué)思想方法研究的首要內(nèi)容。其具體可分為兩大類(lèi)：第一，數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)進(jìn)化，即從整體上進(jìn)行研究。比如，從古至今，數(shù)學(xué)思想方法發(fā)生了多少次重大轉(zhuǎn)折，每一次轉(zhuǎn)折如從算術(shù)到代數(shù)、從綜合幾何到幾何代數(shù)化、從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)、從必然數(shù)學(xué)到或然數(shù)學(xué)、從明晰數(shù)學(xué)到模糊數(shù)學(xué)以及從手工證明到機(jī)器證明等，都是怎樣孕育和產(chǎn)生的，其要點(diǎn)和作用是什么，均屬于這一類(lèi)。第二，數(shù)學(xué)思想方法的個(gè)體發(fā)育，主要是研究每一個(gè)數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生、演變和發(fā)展的規(guī)律，以及本身的特征，在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用和方法論價(jià)值等。廣義一點(diǎn)講，從思想方法角度來(lái)研究概念、運(yùn)算、公式、定理乃至學(xué)科產(chǎn)生發(fā)展的歷史，也可看成是此類(lèi)研究的范圍。
二、數(shù)學(xué)的思維方式與數(shù)學(xué)研究的基本方法
數(shù)學(xué)的主要思維方式是什么?這是數(shù)學(xué)家們歷來(lái)關(guān)注的一個(gè)重要問(wèn)題。本世紀(jì)初以來(lái)，圍繞什么是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問(wèn)題的討論，逐步形成了三個(gè)不同的學(xué)派，即邏輯派，直黨派與形式公理派。如果從思維方式上看數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題的討論，可以說(shuō)，在邏輯主義學(xué)派看來(lái)，數(shù)學(xué)的主要思維方式是邏輯思維；在直覺(jué)主義學(xué)派看來(lái)，數(shù)學(xué)的主要思維方式是直覺(jué)（或靈感）思維；在形式主義學(xué)派看來(lái)，數(shù)學(xué)的主要思維方式是以符號(hào)為特征的純粹的抽象思維。到底什么是數(shù)學(xué)的主要思維方式?辯證思維在數(shù)學(xué)尤其是高等數(shù)學(xué)中占有怎樣的.地位?仍是一些尚待解決的問(wèn)題。
數(shù)學(xué)中的一些常用方法，諸如公理法、模型法、構(gòu)造法、解析法、遞歸法、極限法、逐次逼近法、統(tǒng)計(jì)法、對(duì)偶法、關(guān)系映射反演法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等，這是大家所熟悉的。那么，數(shù)學(xué)中到底有哪些基本方法?每個(gè)方法又是怎樣產(chǎn)生和發(fā)展的，其特征和作用如何?這是一些具有重要方法論價(jià)值且至今沒(méi)有很好解決的研究課題。
三、數(shù)學(xué)家的思想方法
數(shù)學(xué)家是在數(shù)學(xué)研究中做出貢獻(xiàn)的人，而數(shù)學(xué)家之所以取得成果做出貢獻(xiàn)，又往往與他在思想方法上實(shí)行某種變革有關(guān)，因此，考察與剖析數(shù)學(xué)家特別是著名數(shù)學(xué)家的思想方法，是把握數(shù)學(xué)思想方法的重要方面，也是探討數(shù)學(xué)創(chuàng)造規(guī)律，加強(qiáng)數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)不可缺少的研究?jī)?nèi)容。眾所周知，古今中外有許多著名數(shù)學(xué)家，如歐幾里得、劉徽、祖沖之、笛卡兒、牛頓、萊布尼茨、歐拉、高斯、羅巴切夫斯基、伽羅華、康托爾、希爾伯特、彭加勒、維納、馮·諾伊曼、魯濱遜、札德、托姆、華羅庚等，不僅在數(shù)學(xué)研究中取得重大成果，而且在思想方法上也都有獨(dú)到之處，甚至是實(shí)行了革命性的變革。遺憾的是，以往對(duì)他們的成果記載比較詳盡，而對(duì)他們的思想方法卻考究很少，這不能不說(shuō)是過(guò)去數(shù)學(xué)史研究中的一大缺陷。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)家思想方法的挖掘與評(píng)論，可以使人們樹(shù)立起“作出成果是貢獻(xiàn)，創(chuàng)造思想方法是更大貢獻(xiàn)”的觀念，并將其作為評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)家的重要方面之一。
四、數(shù)學(xué)學(xué)派的思想方法
如果說(shuō)某一數(shù)學(xué)家的思想方法較為隱蔽，難以考證，不易作出準(zhǔn)確的分析，那么數(shù)學(xué)學(xué)派卻不然，因?yàn)樗旧硗褪峭ㄟ^(guò)某一特殊的思想方法把大家聯(lián)系在一起的，或者說(shuō)，是因?yàn)樗枷敕椒ú煌鴦澐殖刹煌傻�，因而，它的思想方法是較為明顯，容易作出判斷的。比如，前面提到的本世紀(jì)初以來(lái)形成的邏輯派、直覺(jué)派與形式公理派，其思想方法十分鮮明。本世紀(jì)30年代，在法國(guó)出現(xiàn)的布爾巴基學(xué)派，其思想方法也是非常明確的。他們認(rèn)為，數(shù)學(xué)是以數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)作為研究對(duì)象的科學(xué)，主張用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)）概括全部數(shù)學(xué)，所謂數(shù)學(xué)的理論發(fā)展，無(wú)非是各種結(jié)構(gòu)的建成、改進(jìn)與擴(kuò)充而已。一句話，他們的數(shù)學(xué)思想方法就是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義。在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義指導(dǎo)下，經(jīng)30多年的努力，到1973年共出版《數(shù)學(xué)原本》36卷，為數(shù)學(xué)發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn)。不僅如此，他們治學(xué)的思想方法，也有許多獨(dú)到之處，像學(xué)術(shù)討論上的“無(wú)情批判”，組織成員上的“自由流動(dòng)”，撰寫(xiě)論著上的“分工合作”等，都是很成功的，值得認(rèn)真總結(jié)。當(dāng)然，要完整、準(zhǔn)確地概括某一學(xué)派的思想方法的實(shí)質(zhì)、特點(diǎn)、歷史與作用，也是相當(dāng)困難的。
五、數(shù)學(xué)的潛形態(tài)及其向顯形態(tài)轉(zhuǎn)化的機(jī)制
所謂“數(shù)學(xué)潛形態(tài)”有兩個(gè)含義：第一，從科學(xué)認(rèn)識(shí)角度看，任何數(shù)學(xué)成果都有一個(gè)由孕育到成熟、由潛到顯的過(guò)程，存在一個(gè)孕育階段，我們就把孕育階段的數(shù)學(xué)思想稱(chēng)之為“數(shù)學(xué)潛形態(tài)”，如數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)悖論等；第二，從數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折性看，它指的是“處于待顯階段的數(shù)學(xué)成果”，因?yàn)橐粋�(gè)數(shù)學(xué)成果取得后，并非都立即得到數(shù)學(xué)界的承認(rèn)，而由于種種原因，往往被忽視、排斥、壓制、埋沒(méi)、拋棄、扼殺，有一個(gè)蒙難的歷程，我們就把雖然在認(rèn)識(shí)上已達(dá)到顯階段，但并沒(méi)有被人們確認(rèn)的，仍然處于“潛在階段”的數(shù)學(xué)成果，也叫做“數(shù)學(xué)潛形態(tài)”。這里，主要是研究數(shù)學(xué)潛形態(tài)的產(chǎn)生、演變、特征、作用及其向數(shù)學(xué)顯形態(tài)的轉(zhuǎn)化機(jī)制等。
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