數(shù)學(xué)由來介紹
數(shù)學(xué)，起源于人類早期生產(chǎn)活動(dòng)，為中國(guó)古代六藝之一，亦被古希臘學(xué)者視為哲學(xué)之起點(diǎn)。下面是關(guān)于數(shù)學(xué)的由來的內(nèi)容，歡迎閱讀！
數(shù)學(xué)的由來
數(shù)學(xué)，我國(guó)古代叫算術(shù)，后來叫算學(xué)，又叫數(shù)學(xué)。近幾十年來才確定統(tǒng)一叫做數(shù)學(xué)。古代“算”字有三種寫法：籌、笄、算。從字形的結(jié)構(gòu)，可以看到事物演變的一些痕跡。
許慎《說文解字》對(duì)這幾個(gè)字作如下解釋：“笄”，“長(zhǎng)六寸，計(jì)歷數(shù)者，從竹從弄言常弄乃不誤也”�！八悖瑪�(shù)也，從竹上具，讀若”�！笆臼尽�，或“算”原來都一種竹制的工具，是幾寸長(zhǎng)的竹簽，也叫籌碼。用來記數(shù)、計(jì)算或卜卦。擺弄這些“算”，有一套技術(shù)基學(xué)問，自然就叫做“算術(shù)”或“算學(xué)”。
我國(guó)盛產(chǎn)竹子，是世界上最善于利用竹子的國(guó)家。用竹子做計(jì)算工具，使我國(guó)古代數(shù)學(xué)帶有許多和西方不同的特色。“示示”由兩個(gè)“示”字合成。《說文》解釋“示”字說：“示，神事也�！薄岸笔枪盼牡纳献�，三豎（后來寫成一豎兩點(diǎn)）是日、月、星。古人以為天上有神靈，神的表示是從上面下來的。矯同時(shí)也用來占筮，因此“示示”字帶有迷信色彩，是不奇怪的。
“算”字是什么時(shí)候開始使用的？李約瑟認(rèn)為在甲骨文或金文中從未發(fā)現(xiàn)過這個(gè)算字，因此它出現(xiàn)的年代不可能早于公元前3世紀(jì)。無論如何，“算術(shù)”這個(gè)名稱在漢代已經(jīng)通行。正式使用，是在《九章算術(shù)》一書中。它的涵義是指當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)，和現(xiàn)代算術(shù)的意義不同。宋、元兩代，我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展居世界前列。那時(shí)“算學(xué)”和“數(shù)學(xué)”這兩個(gè)詞是并用的。
算學(xué)、數(shù)學(xué)并用的情況，一直延續(xù)了幾百年，1935年“中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)名詞審查委員會(huì)”仍主張兩詞并用。直到1939年6月，為了劃一起見，才確定用“數(shù)學(xué)”，而不用“算學(xué)”。
數(shù)學(xué)名稱的由來
古希臘人在數(shù)學(xué)中引進(jìn)了名稱，概念和自我思考，他們很早就開始猜測(cè)數(shù)學(xué)是如何產(chǎn)生的。雖然他們的猜測(cè)僅是匆匆記下，但他們幾乎先占有了猜想這一思考領(lǐng)域。古希臘人隨意記下的東西在19世紀(jì)變成了大堆文章，而在20世紀(jì)卻變成了令人討厭的陳辭濫調(diào)。 在現(xiàn)存的資料中，希羅多德（Ｈerodotus，公元前484－－425年）是第一個(gè)開始猜想的人。他只談?wù)摿藥缀螌W(xué)，他對(duì)一般的數(shù)學(xué)概念也許不熟悉，但對(duì)土地測(cè)量的準(zhǔn)確意思很敏感。作為一個(gè)人類學(xué)家和一個(gè)社會(huì)歷史學(xué)家，希羅多德指出，古希臘的幾何來自古埃及，在古埃及，由于一年一度的洪水淹沒土地，為了租稅的目的，人們經(jīng)常需要重新丈量土地；他還說：希臘人從巴比倫人那里學(xué)會(huì)了日晷儀的使用，以及將一天分成12個(gè)時(shí)辰。希羅多德的這一發(fā)現(xiàn)，受到了肯定和贊揚(yáng)。認(rèn)為普通幾何學(xué)有一個(gè)輝煌開端的推測(cè)是膚淺的。
柏拉圖關(guān)心數(shù)學(xué)的各個(gè)方面，在他那充滿奇妙幻想的神話故事《費(fèi)德洛斯篇》中，他說：
故事發(fā)生在古埃及的洛克拉�。▍^(qū)域），在那里住著一位老神仙，他的名字叫賽斯（Ｔheuth），對(duì)于賽斯來說，朱鷺是神鳥，他在朱鷺的幫助下發(fā)明了數(shù)，計(jì)算、幾何學(xué)和天文學(xué)，還有棋類游戲等。
柏拉圖常常充滿了奇怪的幻想，原因是他不知道自己是否正亞里士多德最后終于用完全概念化的語言談?wù)摂?shù)學(xué)了，即談?wù)摻y(tǒng)一的、有著自己發(fā)展目的的數(shù)學(xué)。在他的《形而上學(xué)》（Ｍeta－physics）第1卷第1章中，亞里士多德說：數(shù)學(xué)科學(xué)或數(shù)學(xué)藝術(shù)源于古埃及，因?yàn)樵诠虐＜坝幸慌浪居锌臻e自覺地致力于數(shù)學(xué)研究。亞里士多德所說的是否是事實(shí)還值得懷疑，但這并不影響亞里士多德聰慧和敏銳的觀察力。在亞里士多德的書中，提到古埃及僅僅只是為了解決關(guān)于以下問題的爭(zhēng)論：
1．存在為知識(shí)服務(wù)的知識(shí)，純數(shù)學(xué)就是一個(gè)最佳的例子：
2．知識(shí)的發(fā)展不是由于消費(fèi)者購物和奢華的需要而產(chǎn)生的。亞里士多德這種“天真”的觀點(diǎn)也許會(huì)遭到反對(duì)；但卻駁不倒它，因?yàn)闆]有更令人信服的觀點(diǎn)。
就整體來說，古希臘人企圖創(chuàng)造兩種“科學(xué)”的方法論，一種是實(shí)體論，而另一種是他們的數(shù)學(xué)。亞里士多德的邏輯方法大約是介于二者之間的，而亞里士多德自己認(rèn)為，在一般的意義上講他的方法無論如何只能是一種輔助方法。古希臘的實(shí)體論帶有明顯的巴門尼德的“存在”特征，也受到赫拉克利特“理性”的輕微影響，實(shí)體論的特征僅在以后的斯多葛派和其它希臘作品的翻譯中才表現(xiàn)出來。數(shù)學(xué)作為一種有效的方法論遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超越了實(shí)體論，但不知什么原因，數(shù)學(xué)的名字本身并不如“存在”和“理性”那樣響亮和受到肯定。然而，數(shù)學(xué)名稱的產(chǎn)生和出現(xiàn)，卻反映了古希臘人某些富于創(chuàng)造的特性。下面我們將說明數(shù)學(xué)這一名詞的來源。
“數(shù)學(xué)”一詞是來自希臘語，它意味著某種‘已學(xué)會(huì)或被理解的東西’或“已獲得的知識(shí)”，甚至意味著“可獲的東西”， “可學(xué)會(huì)的東西”，即“通過學(xué)習(xí)可獲得的知識(shí)”，數(shù)學(xué)名稱的這些意思似乎和梵文中的同根詞意思相同。甚至偉大的辭典編輯人利特雷（Ｅ．Ｌittre 也是當(dāng)時(shí)杰出的古典學(xué)者），在他編輯的法語字典（1877年）中也收入了“數(shù)學(xué)”一詞。牛津英語字典沒有參照梵文。公元10世紀(jì)的拜占庭希臘字典“Ｓuidas”中，引出了“物理學(xué)”、“幾何學(xué)”和“算術(shù)”的詞條，但沒有直接列出“數(shù)學(xué)”—詞。
“數(shù)學(xué)”一詞從表示一般的知識(shí)到專門表示數(shù)學(xué)專業(yè)，經(jīng)歷一個(gè)較長(zhǎng)的過程，僅在亞里士多德時(shí)代，而不是在柏拉圖時(shí)代，這一過程才完成。數(shù)學(xué)名稱的專有化不僅在于其意義深遠(yuǎn)，而在于當(dāng)時(shí)古希臘只有“詩歌”一詞的專有化才能與數(shù)學(xué)名稱的專有化相媲美�！霸姼琛痹瓉淼囊馑际恰耙呀�(jīng)制造或完成的某些東西”，“詩歌”一詞的專有化在柏拉圖時(shí)代就完成了。而不知是什么原因辭典編輯或涉及名詞專有化的知識(shí)問題從來沒有提到詩歌，也沒有提到詩歌與數(shù)學(xué)名稱專有化之間奇特的相似性。但數(shù)學(xué)名稱的專有化確實(shí)受到人們的注意。
首先，亞里士多德提出， “數(shù)學(xué)”一詞的專門化使用是源于畢達(dá)哥拉斯的想法，但沒有任何資料表明對(duì)于起源于愛奧尼亞的自然哲學(xué)有類似的思考。其次在愛奧尼亞人中，只有泰勒斯（公元前640？－－546年）在“純”數(shù)學(xué)方面的成就是可信的，因?yàn)槌说跉W根尼？拉爾修（Ｄiogenes Ｌaertius）簡(jiǎn)短提到外，這一可信性還有一個(gè)較遲的而直接的數(shù)學(xué)來源，即來源于普羅克洛斯（Ｐroclus）對(duì)歐幾里得的評(píng)注：但這一可信性不是來源于亞里士多德，盡管他知道泰勒斯是一個(gè)“自然哲學(xué)家”；也不是來源于早期的希羅多德，盡管他知道塞利斯是一個(gè)政治、軍事戰(zhàn)術(shù)方面的“愛好者”，甚至還能預(yù)報(bào)日蝕。以上這些可能有助于解釋為什么在柏拉圖的體系中，幾乎沒有愛奧尼亞的成份。赫拉克利特（公元前500－－？年）有一段名言：“萬物都在運(yùn)動(dòng)中，物無常往”， “人們不可能兩次落進(jìn)同一條河里”。這段名言使柏拉圖迷惑了，但赫拉克賴脫卻沒受到柏拉圖給予巴門尼德那樣的尊敬。巴門尼德的實(shí)體論，從方法論的角度講，比起赫拉克賴脫的變化論，更是畢達(dá)哥拉斯數(shù)學(xué)的強(qiáng)有力的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手。
對(duì)于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派來說，數(shù)學(xué)是一種“生活的方式”。事實(shí)上，從公元2世紀(jì)的拉丁作家格利烏斯（Ｇellius）和公元3世紀(jì)的希臘哲學(xué)家波菲利（Ｐorphyry）以及公元4世紀(jì)的希臘哲學(xué)家揚(yáng)布利科斯（Ｉamblichus）的某些證詞中看出，似乎畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)于成年人有一個(gè)“一般的學(xué)位課程”，其中有正式登記者和臨時(shí)登記者。臨時(shí)成員稱為“旁聽者”，正式成員稱為“數(shù)學(xué)家”。
這里“數(shù)學(xué)家”僅僅表示一類成員，而并不是他們精通數(shù)學(xué)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的精神經(jīng)久不衰。對(duì)于那些被阿基米德神奇的發(fā)明所深深吸引的人來說，阿基米德是唯一的獨(dú)特的數(shù)學(xué)家，從理論的地位講，牛頓是一個(gè)數(shù)學(xué)家，盡管他也是半個(gè)物理學(xué)家，一般公眾和新聞?dòng)浾邔幵赴褠垡蛩固箍醋鲾?shù)學(xué)家，盡管他完全是物理學(xué)家。當(dāng)羅吉爾？培根（Ｒoger Ｂacon，1214－－1292年）通過提倡接近科學(xué)的“實(shí)體論”，向他所在世紀(jì)提出挑戰(zhàn)時(shí)，他正將科學(xué)放進(jìn)了一個(gè)數(shù)學(xué)的大框架，盡管他在數(shù)學(xué)上的造詣是有限的，當(dāng)?shù)芽▋海ǎ膃scartes，1596－－1650年）還很年輕時(shí)就決心有所創(chuàng)新，于是他確定了“數(shù)學(xué)萬能論”的名稱和概念。然后萊布尼茨引用了非常類似的概念，并將其變成了以后產(chǎn)生的“符號(hào)”邏輯的基礎(chǔ)，而20世紀(jì)的“符號(hào)”邏輯變成了熱門的數(shù)理邏輯。
在18世紀(jì)，數(shù)學(xué)史的先驅(qū)作家蒙托克萊（Ｍontucla）說，他已聽說了關(guān)于古希臘人首先稱數(shù)學(xué)為“一般知識(shí)”，這一事實(shí)有兩種解釋：一種解釋是，數(shù)學(xué)本身優(yōu)于其它知識(shí)領(lǐng)域；而另一種解釋是，作為一般知識(shí)性的學(xué)科，數(shù)學(xué)在修辭學(xué)，辯證法，語法和倫理學(xué)等等之前就結(jié)構(gòu)完整了。蒙托克萊接受了第二種解釋。他不同意第一種解釋，因?yàn)樵谄樟_克洛斯關(guān)于歐幾里得的評(píng)注中，或在任何古代資料中，都沒有發(fā)現(xiàn)適合這種解釋的確證。然而19世紀(jì)的語源學(xué)家卻傾向于第一種解釋，而20世紀(jì)的古典學(xué)者卻又偏向第二種解釋。但我們發(fā)現(xiàn)這兩種解釋并不矛盾，即很早就有了數(shù)學(xué)且數(shù)學(xué)的優(yōu)越性是無與倫比的。
數(shù)學(xué)起源于人類早期的生產(chǎn)活動(dòng)，古巴比倫人從遠(yuǎn)古時(shí)代開始已經(jīng)積累了一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，并能應(yīng)用實(shí)際問題。從數(shù)學(xué)本身看，他們的數(shù)學(xué)知識(shí)也只是觀察和經(jīng)驗(yàn)所得，沒有綜合結(jié)論和證明，但也要充分肯定他們對(duì)數(shù)學(xué)所做出的貢獻(xiàn)。
數(shù)學(xué)的起源
通過“建模”與世界打交道
大自然是一個(gè)復(fù)雜多變、險(xiǎn)象環(huán)生的處所，棲息地的變化、掠食動(dòng)物的襲擊、食物的匱乏……一個(gè)有機(jī)體的生存取決于它感知周圍環(huán)境的能力。但不管是野牛估量獅群的數(shù)量和塊頭，以便做出戰(zhàn)斗/逃跑的決定；還是椋鳥在空中時(shí)刻與鄰伴維持適當(dāng)?shù)木嚯x，以便保持隊(duì)形；或者羊群循著水草豐茂的路線覓食……所有這一切活動(dòng)，按倫敦大學(xué)神經(jīng)學(xué)家卡爾·菲力斯頓的說法，都意味著在做數(shù)學(xué)。
“因?yàn)閿?shù)學(xué)有一種簡(jiǎn)單、節(jié)儉和對(duì)稱的性質(zhì)，如果你把它當(dāng)作一種語言，會(huì)比其他描述世界的方法更勝一籌。從海豚到黏菌，幾乎所有生命都能從數(shù)學(xué)上去理解這個(gè)世界，以便為自己的生存服務(wù)，” 他說。
現(xiàn)在不是有很多“建模”比賽嗎？為一個(gè)復(fù)雜過程，建立一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，然后輸入?yún)?shù)，看看不同情況下的運(yùn)行結(jié)果。那么，菲力斯頓的話其實(shí)意思就是：任何形式的生命都需要通過對(duì)其生存的環(huán)境進(jìn)行“建�！�，才能發(fā)揮作用。
菲力斯頓的這個(gè)看法可追溯到1970年代，當(dāng)時(shí)控制論提出一項(xiàng)原則：為了提供有效的控制，一個(gè)機(jī)器人必須先對(duì)自己與環(huán)境的作用，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，才能據(jù)此行動(dòng)。此后的人工智能研究，差不多都遵循了這條原則。今天，人類能在人工智能領(lǐng)域取得這么大的成就，也要?dú)w功于這條原則。
既然機(jī)器人是通過“建�！迸c外部世界互動(dòng)的，那么一個(gè)合理的推測(cè)是：生物在某種程度上也是通過“建�！备澜绱蚪坏赖摹�
舉個(gè)例子。當(dāng)一頭野牛注意到一頭獅子在逼近時(shí)，它就會(huì)本能地調(diào)動(dòng)一個(gè)叫“逃跑/戰(zhàn)斗”的決策機(jī)制，根據(jù)自己對(duì)獅子塊頭、距離遠(yuǎn)近以及對(duì)自己力量的估計(jì)，決定是逃跑還是戰(zhàn)斗。這個(gè)決策機(jī)制，從功能上說，可看作是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，輸入“獅子塊頭”“距離”“自己的力量”等參數(shù)，輸出“逃跑”或“戰(zhàn)斗”的結(jié)果。任何一項(xiàng)參數(shù)改變，都可能導(dǎo)致輸出結(jié)果不同。
發(fā)展出精確的數(shù)感為了糾正感官的偏差
既然是數(shù)學(xué)模型，當(dāng)然就要對(duì)現(xiàn)實(shí)做些簡(jiǎn)化，不可能面面俱到。尤其對(duì)于生命來說，當(dāng)危險(xiǎn)臨近時(shí)，迅速行動(dòng)才是主要的，準(zhǔn)確倒退居次要。譬如上述“逃跑/戰(zhàn)斗”的模型中，考慮那三項(xiàng)因素大致就差不多了，至于“獅子毛色如何”，“天空會(huì)不會(huì)下雨”等因素，都可以不考慮。考慮因素太多，決策就慢下來，進(jìn)而影響行動(dòng)速度。
正是我們這種與世界打交道的方式，決定了我們的感官存在這樣那樣不盡人意的偏差。
以心理學(xué)上反映心理量和物理量之間關(guān)系的韋伯-費(fèi)希納定律為例。這條定律說：我們辨別兩個(gè)感覺差別的能力，隨感覺強(qiáng)度的增加而減弱。比如用手提重物，你很容易區(qū)分1千克和2千克，但要辨別21千克和22千克，就不那么容易了。對(duì)于亮度、音量等的辨別能力也同樣如此。
讓我們自豪的是，盡管人類和其他動(dòng)物的感官都有著同樣的偏差，但人類已經(jīng)發(fā)展出識(shí)別和糾正偏差的能力。最明顯的是，我們發(fā)明了數(shù)：這是一種符號(hào)系統(tǒng)，它讓我們立即判斷出（21與22）和（1與2）差距是一樣的。
與生俱來的是“數(shù)覺”還是“量覺”？
那么，這種工具是怎么發(fā)展起來的呢？
長(zhǎng)期以來，一種觀點(diǎn)認(rèn)為：我們天生就有一種對(duì)“數(shù)”的意識(shí)，就像我們天生就能意識(shí)到色彩一樣。1997年，法國(guó)心理學(xué)家德阿納提出一個(gè)假說，認(rèn)為進(jìn)化賦予人類和其他動(dòng)物一種“數(shù)覺”，即立即覺察一堆物體數(shù)量的本能。譬如說，三顆紅色的珠子會(huì)產(chǎn)生數(shù)“3”的感覺，正如它們能產(chǎn)生“紅”的感覺。
支持這種本能觀點(diǎn)的證據(jù)很多。麻省理工學(xué)院的心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，6個(gè)月大的嬰兒已能在8個(gè)點(diǎn)和16個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)陣之間做出區(qū)分。
還有研究顯示，人類本能上具有在空間上通過虛構(gòu)一條“數(shù)字線”，來表示數(shù)的傾向。比如說，我報(bào)給你一串?dāng)?shù)，請(qǐng)你在紙上記下。盡管我并沒有吩咐你怎么去記，但你還是會(huì)按小的在左，大的在右的方式寫下這些數(shù)，哪怕你是個(gè)左撇子也不例外。這是因?yàn)槟阍谟洈?shù)字時(shí)，會(huì)在紙面上不自覺地虛構(gòu)一條“數(shù)字線”；在這條線上，數(shù)值從左到右要按從小到大的順序排列。這是一種本能。
甚至有證據(jù)表明，數(shù)覺在動(dòng)物中也存在（見拓展閱讀“動(dòng)物有數(shù)學(xué)本能嗎？”）。
所以，按本能論的觀點(diǎn)，我們天生具有“數(shù)覺”，隨后以此作為“種子”，經(jīng)過幾千年文明的發(fā)揚(yáng)光大，才有今天這么龐大復(fù)雜的數(shù)學(xué)體系。
但不久，一些研究者對(duì)這些證據(jù)提出懷疑。例如他們說，嬰兒能把兩列點(diǎn)陣區(qū)別開來，也許依靠的不是它們?cè)跀?shù)量上的差別，而是基于其他屬性，比如點(diǎn)陣的空間位置分布或覆蓋的面積等。這些線索涉及的是量，不是數(shù)；雖然量也跟數(shù)相關(guān)，但精確度上要差一些，不過因?yàn)楸葦?shù)更直觀，似乎更有可能被嬰兒利用。譬如兩堆球，判斷哪堆多哪堆少，總比說出每一堆的具體數(shù)目要更直觀，也更容易一些。
由此，出現(xiàn)了一個(gè)不同的假說：我們與生俱來的不是“數(shù)覺”，而是“量覺”，即感知事物的量（如大小、強(qiáng)度等）的能力。
對(duì)兒童更精確的測(cè)試似乎也傾向于支持這種觀點(diǎn)。例如，小于4歲的孩子不能理解5個(gè)橘子和5只西瓜有什么共同點(diǎn)——都是5。對(duì)他們而言，5只西瓜僅僅意味著比5個(gè)橘子在“量”上更多。
此外，即使教幼兒數(shù)數(shù)的動(dòng)作，也不能立即傳達(dá)數(shù)的意義，必須通過“量”的比較，他們才能掌握“數(shù)”的概念。這就怪不得幼兒園的老師教孩子數(shù)數(shù)，或者做加減運(yùn)算，要輔以小木棍、小球之類的道具。
精確的數(shù)量感是文明發(fā)展的產(chǎn)物
如果我們接受后一種觀點(diǎn)，那么，我們后來能產(chǎn)生精確的數(shù)量感，發(fā)明出數(shù)來精確地表示量，只能說是文明的產(chǎn)物了。
文化對(duì)數(shù)的認(rèn)知影響之大，超乎我們的想象。以巴布亞新幾內(nèi)亞的Yupno人為例。他們的語言雖然并不原始，卻連表示“一個(gè)比另一個(gè)大或小”的說法都沒有。Yupno并不是唯一擁有不強(qiáng)調(diào)數(shù)的語言的人。一項(xiàng)對(duì)189種澳大利亞原住民語言的研究，發(fā)現(xiàn)其中四分之三的語言中沒有表示大于3或4的數(shù)的詞匯。
這暗示，今天我們大多數(shù)人所擁有的精確的數(shù)量感，是文明發(fā)展到一定度的產(chǎn)物，當(dāng)諸如農(nóng)業(yè)和貿(mào)易等需要時(shí)，它才會(huì)出現(xiàn)。
甚至在我們自己當(dāng)中，對(duì)數(shù)的認(rèn)知也深受職業(yè)、教育等這類文化因素的影響。2016年，研究人員對(duì)15名專業(yè)數(shù)學(xué)家和15名非數(shù)學(xué)家學(xué)者的大腦進(jìn)行了掃描。他們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)涉及數(shù)學(xué)思維的腦區(qū)；當(dāng)數(shù)學(xué)家思考代數(shù)、幾何和拓?fù)鋵W(xué)問題時(shí)，這個(gè)腦區(qū)會(huì)被激活；但是當(dāng)他們思考非數(shù)學(xué)問題時(shí)，這個(gè)腦區(qū)就不會(huì)活躍起來。而在其他學(xué)者中，不論思考數(shù)學(xué)問題還是非數(shù)學(xué)問題，這個(gè)腦區(qū)都不活躍。
這個(gè)結(jié)果表明，教育和職業(yè)所養(yǎng)成的習(xí)慣，已經(jīng)深深改變了數(shù)學(xué)家們思考數(shù)學(xué)時(shí)的思維方式。文化的影響之巨，由此可見一斑。
文化是什么時(shí)候把我們?cè)?jīng)的模糊本能（“量覺”）塑造成能精確識(shí)別數(shù)的能力（“精確的數(shù)量感”）的呢？確切時(shí)間目前還不清楚。人類處理數(shù)的最早證據(jù)來自南非萊邦博山脈的博德山洞。在那里，考古學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了年齡為4.4萬的有缺口的骨頭，其中包括狒狒的腓骨，上面刻有29個(gè)痕跡。人類學(xué)家認(rèn)為，這些痕跡表明，這塊骨頭類似原始人的“賬目棒”，是用來輔助計(jì)數(shù)的。說明那個(gè)時(shí)候人類就已經(jīng)學(xué)會(huì)有意識(shí)地用符號(hào)表達(dá)和操縱數(shù)目了。
公元前4千年左右，在底格里斯-幼發(fā)拉底河谷（現(xiàn)在伊拉克的一個(gè)地區(qū)），出現(xiàn)了美索不達(dá)米亞文明。在這種文明中，計(jì)數(shù)和測(cè)量達(dá)到了新的高度。這同樣跟文明的發(fā)展需要分不開。美索不達(dá)米亞人需要記錄天文歷法，丈量土地面積，衡量谷物收成，甚至記錄重量。然后隨著人類走向海洋，或者研究天空，我們開始發(fā)展導(dǎo)航和天文觀測(cè)所需要的數(shù)學(xué)。甚至到了現(xiàn)代，商業(yè)的需要也仍在推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。譬如，一些最復(fù)雜的數(shù)學(xué)正是為華爾街的股票和債券交易而開發(fā)的。
拓展閱讀:動(dòng)物有數(shù)學(xué)本能嗎？
關(guān)于人類是否天生具有“數(shù)覺”的爭(zhēng)論，讓持肯定意見的人經(jīng)常轉(zhuǎn)向從動(dòng)物方面尋求支持。如果我們的遠(yuǎn)親能表現(xiàn)出一定的數(shù)學(xué)能力，那這就意味著我們自己對(duì)數(shù)的感覺也必定先于文化的發(fā)展。
一些動(dòng)物個(gè)體被證明表現(xiàn)出非凡的數(shù)覺天賦。亞歷克斯，一只經(jīng)過訓(xùn)練的非洲灰鸚鵡，在80%的時(shí)間里能正確識(shí)別出2到6個(gè)物體的集合。Ai，日本靈長(zhǎng)類動(dòng)物學(xué)家訓(xùn)練出來的.一只黑猩猩，能做同樣的事情。
但也有人爭(zhēng)辯說，這些動(dòng)物并沒有掌握數(shù)的象征意義。相反，它們只是在經(jīng)過上千次的訓(xùn)練之后，能通過聯(lián)想來學(xué)習(xí)數(shù)。這和我們訓(xùn)練動(dòng)物去做它們?cè)谝巴庾霾坏降氖虑闆]什么不同。比如在自然狀態(tài)下，讓大象戴著滑稽帽子一條腿站在凳上是不可想象的，而經(jīng)過訓(xùn)練再做這類事情，就沒什么可稀奇的了。
但越來越多的證據(jù)表明，動(dòng)物在自然狀態(tài)下也能表現(xiàn)出接近“數(shù)覺”的能力。20世紀(jì)90年代早期，有觀察證明，獅子能區(qū)分一頭獅子和三頭獅子的吼聲。在2017年2月的一次會(huì)議上，研究人員還報(bào)告說，一些青蛙在擇偶過程中，當(dāng)聽到與之競(jìng)爭(zhēng)的青蛙的叫聲時(shí)，會(huì)在叫聲數(shù)量上與競(jìng)爭(zhēng)者一爭(zhēng)高低。
這些發(fā)現(xiàn)表明，動(dòng)物確實(shí)有一種接近“數(shù)覺”的本能。換句話說，這種本能為人類和許多其他動(dòng)物共同擁有。
數(shù)學(xué)的本質(zhì)
“數(shù)學(xué)是大自然的語言”
目今，人類已經(jīng)建立了一座巨大的數(shù)學(xué)金字塔。在過去5千年左右的時(shí)間里，數(shù)學(xué)已經(jīng)擴(kuò)張到更加抽象的領(lǐng)域，似乎進(jìn)一步脫離了周圍的現(xiàn)實(shí)世界和普通人的理解范圍。
然而，我們對(duì)宇宙的秘密了解越多，數(shù)學(xué)上的新發(fā)明就越能描述這些秘密。例如，當(dāng)大衛(wèi)·希爾伯特發(fā)展了一種高度抽象的代數(shù)來處理無窮多個(gè)維度而不是熟悉的空間三維時(shí)，沒有人能預(yù)見到這種代數(shù)能在量子力學(xué)中得到應(yīng)用。但不久之后證明，希爾伯特的這套數(shù)學(xué)——即所謂的“希爾伯特空間”——是我們理解詭秘的量子世界的關(guān)鍵。
數(shù)學(xué)和物理之間這種普遍存在的聯(lián)系，使我們想起幾個(gè)世紀(jì)前伽利略說過的一句話“數(shù)學(xué)是大自然的語言”。對(duì)今天從事自然科學(xué)研究的人來說，數(shù)學(xué)幾乎是一門必備的工具。甚至長(zhǎng)期抵制數(shù)學(xué)的生物學(xué)，也在慢慢地屈服：人們已經(jīng)見證了數(shù)學(xué)在基因組學(xué)或神經(jīng)科學(xué)中的廣泛應(yīng)用。比如，DNA雙螺旋結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)就與一個(gè)叫“傅里葉分析”的數(shù)學(xué)工具分不開。神經(jīng)生物學(xué)則越來越依賴拓?fù)鋵W(xué)、圖論等數(shù)學(xué)學(xué)科。
數(shù)學(xué)自身取得的輝煌成就以及它在現(xiàn)實(shí)中無所不在的應(yīng)用，讓一些人產(chǎn)生一種“狂妄”的看法：數(shù)學(xué)是一切，一切皆數(shù)學(xué)；宇宙是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它只有數(shù)學(xué)性質(zhì)。這種看法與古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“一切皆數(shù)，數(shù)是萬物的本源”的神秘思想遙相呼應(yīng)。
數(shù)學(xué)是發(fā)現(xiàn)還是發(fā)明？
歷史上，人們?cè)鵀椤皵?shù)學(xué)是發(fā)明還是發(fā)現(xiàn)？”發(fā)生過激烈的爭(zhēng)論。按“數(shù)學(xué)是一切”的觀點(diǎn)，數(shù)學(xué)顯然是“發(fā)現(xiàn)”而不是“發(fā)明”，因?yàn)樗缫汛嬖谀莾�，我們所做的只是發(fā)現(xiàn)而已。
但事情也許沒那么簡(jiǎn)單：當(dāng)問及“數(shù)學(xué)是被發(fā)明的還是被發(fā)現(xiàn)的？”的時(shí)候，人們往往有一種先入為主的前提，好像兩者是相互排斥的。如果你發(fā)明了它，你就不會(huì)是發(fā)現(xiàn)了它，如此等等。但這不是一個(gè)非此即彼的命題。
想想古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德編纂的《幾何原本》，它搜集了古希臘所有的數(shù)學(xué)知識(shí)，并編纂了一條條幾何定律。歐幾里德把他的工作建立在一系列公理之上。這些公理既不能證明，也不能證偽，我們只能說它們是“被發(fā)明的”。其中最著名的一條就是“平行線公理”：兩條平行線永不相交。隨著時(shí)間的推移，從這些公理中衍生出很多的規(guī)則和關(guān)系，并被后人證明為定理。從某種意義上說，他們是“發(fā)現(xiàn)”了歐幾里德幾何學(xué)的景觀。
但是幾千年后，有數(shù)學(xué)家另起爐灶，決定采用新公理去發(fā)現(xiàn)新的幾何王國(guó)。這些新公理與歐幾里得的公理是矛盾的。例如，因德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼而得名的黎曼幾何，明確依賴于“平行線可以相交”這一思想。這個(gè)非正統(tǒng)的出發(fā)點(diǎn)把我們引向了一個(gè)廣闊的數(shù)學(xué)世界，愛因斯坦用其來闡述他的廣義相對(duì)論。
數(shù)學(xué)能否解釋自己的起源？
但是，不管我們從哪一套公理出發(fā)，數(shù)學(xué)可能不像我們所以為的那樣是一套完整的思想體系。對(duì)于這一點(diǎn)，我們要?dú)w功于奧地利邏輯學(xué)家哥德爾的不完備性定理所提供的洞見。哥德爾證明，在任何形式的公理和定理體系里，有一些既不能證明對(duì)，也不能證明錯(cuò)的陳述。換句話說，有些問題數(shù)學(xué)可以問，但它永遠(yuǎn)無法回答。像歐幾里得幾何中的“平行線永不相交”就是一例，歐幾里得幾何體系自身無法提供證明。我們只能說：“暫且假設(shè)它是對(duì)的，來看看會(huì)推出什么結(jié)果……”
在這種情況下，我們說數(shù)學(xué)是普遍真理，或許還為時(shí)尚早。因?yàn)檎胬砺�，�?duì)的就是對(duì)的，不能說“假設(shè)它是對(duì)的”（比如上帝存在就說存在，不存在就說不存在，不能說“假設(shè)他存在”）。再者，人類迄今所建立的數(shù)學(xué)體系，也許不過是“數(shù)學(xué)叢林”的一個(gè)小角落，誰敢保證它就代表了宇宙整體呢？
當(dāng)前，能不能完全用數(shù)學(xué)來描述意識(shí)，是數(shù)學(xué)面臨的一個(gè)非常大的挑戰(zhàn)。我們知道，數(shù)學(xué)本身就是人類意識(shí)的產(chǎn)物，現(xiàn)在反過來要用它去解釋意識(shí)，那就意味著要數(shù)學(xué)去解釋自己的起源。它能勝任嗎？ 如果能解釋，也就算了；如果不能，那麻煩就大了。因?yàn)榧热贿B“大自然的語言”數(shù)學(xué)都解釋不了意識(shí)，那意識(shí)還能用什么來解釋呢？或者反過來，迫使我們追問“難道數(shù)學(xué)真是大自然的語言嗎？”
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