考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)方程組有哪些高頻考點(diǎn)
線性代數(shù)關(guān)于解方程這部分的出題一般是會(huì)出一道大題，我們?cè)谶M(jìn)行考研復(fù)習(xí)的時(shí)候，需要抓住它的重點(diǎn)。小編為大家精心準(zhǔn)備了考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)方程組的知識(shí)點(diǎn)，歡迎大家前來(lái)閱讀。
考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)方程組的高頻考點(diǎn)
其中我們應(yīng)當(dāng)掌握：
1、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解;
2、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解及解空間的概念，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解的求法;
3、齊次線性方程組有非零解的充分必要條件，非齊次線性方程組有解的充分必要條件;
4、矩陣初等變換的概念，初等矩陣的性質(zhì)，矩陣等價(jià)的概念，矩陣的秩的概念，用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣;
5、向量、向量的線性組合與線性表示的概念;
6、用初等行變換求解線性方程組的方法;
7、基變換和坐標(biāo)變換公式，過(guò)渡矩陣。(數(shù)一)
8、向量空間、子空間、基底、維數(shù)、坐標(biāo)等概念;(數(shù)一)
9、向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念，向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法;
10、向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩的概念和求解;
11、向量組等價(jià)的概念，矩陣的秩與其行(列)向量組的秩之間的關(guān)系;
矩陣的特征值特征向量與二次型相當(dāng)于是求解線性方程組的應(yīng)用，出題比較靈活，有些題目技巧性較強(qiáng)，復(fù)習(xí)起來(lái)也是比較有意思的一章。在考試中也是比較容易出大題的內(nèi)容。
其中我們應(yīng)當(dāng)掌握：
1、規(guī)范正交基、正交矩陣的概念以及它們的性質(zhì);
2、內(nèi)積的概念，線性無(wú)關(guān)向量組正交規(guī)范化的施密特(Schmidt)方法;
3、矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，求矩陣的特征值和特征向量;
4、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì);
5、相似矩陣的概念、性質(zhì)，矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件，將矩陣化為相似對(duì)角矩陣的方法;
6、二次型及其矩陣表示，二次型秩的概念，合同變換與合同矩陣的概念，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形的概念以及慣性定理;
7、正定二次型、正定矩陣的概念和判別法。
8、正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。
考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)如何高效復(fù)習(xí)
▶第一章 行列式
本章的重點(diǎn)是行列式的計(jì)算，主要有兩種類型的題目：數(shù)值型行列式的計(jì)算和抽象型行列式的計(jì)算。數(shù)值型行列式的計(jì)算不會(huì)以單獨(dú)題目的形式考查，但是在解決線性方程組求解問(wèn)題以及特征值與特征向量的問(wèn)題時(shí)均涉及到數(shù)值型行列式的計(jì)算;而抽象型行列式的計(jì)算問(wèn)題會(huì)以填空題的形式展現(xiàn)，在歷年考研真題中可以找到有關(guān)抽象型行列式的計(jì)算問(wèn)題。
因此，在復(fù)習(xí)期間行列式這塊要做到利用行列式的性質(zhì)及展開(kāi)定理熟練的、準(zhǔn)確的計(jì)算出數(shù)值型行列式的值，不論是高階的還是低階的都要會(huì)計(jì)算。另外還要會(huì)綜合后面的知識(shí)會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的抽象行列式的值。
▶第二章 矩陣
本章需要重點(diǎn)掌握的基本概念有可逆矩陣、伴隨矩陣、分塊矩陣和初等矩陣，可逆陣與伴隨矩陣的相關(guān)性質(zhì)也很重要，也是需要掌握的。除了這些就是矩陣的基本運(yùn)算，可以將矩陣的運(yùn)算分為兩個(gè)層次：
1、矩陣的符號(hào)運(yùn)算
2、具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算
矩陣的符號(hào)運(yùn)算就是利用相關(guān)矩陣的性質(zhì)對(duì)給出的矩陣等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，而具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算主要指矩陣的乘法運(yùn)算、求逆運(yùn)算等。
▶第三章 向量
本章的重點(diǎn)有：
1、向量組的線性相關(guān)性證明、線性表出等問(wèn)題，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵在于深刻理解向量組的線性相關(guān)性概念，掌握線性相關(guān)性的幾個(gè)相關(guān)定理，另外還要注意推證過(guò)程中邏輯的正確性，還要善于使用反證法。
2、向量組的極大無(wú)關(guān)組、等價(jià)向量組、向量組及矩陣秩的概念，以及它們之間的相互關(guān)系。要求會(huì)用矩陣的初等變換求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組以及向量組或者矩陣的秩。
▶第四章 線性方程組
本章的重點(diǎn)是利用向量這個(gè)工具解決線性方程組解的判定及解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題。題目基本沒(méi)有難度，但是大家在復(fù)習(xí)的時(shí)候要注意將向量與線性方程組兩章的知識(shí)內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，學(xué)會(huì)融會(huì)貫通。
▶第五章 特征值與特征向量
本章的基本要求有三點(diǎn)：
1、要會(huì)求特征值、特征向量
對(duì)于具體給定的數(shù)值型矩陣，一般方法是通過(guò)特征方程∣λE-A∣=0求出特征值，然后通過(guò)求解齊次線性方程組(λE-A)ξ=0的非零解得出對(duì)應(yīng)特征值的特征向量，而對(duì)于抽象的矩陣來(lái)說(shuō)，在求特征值時(shí)主要考慮利用定義Aξ=λξ，另外還要注意特征值與特征向量的.性質(zhì)及其應(yīng)用。
2、矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題
要求掌握一般矩陣相似對(duì)角化的條件，但是重點(diǎn)是實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化，即實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似于對(duì)角陣。這塊的知識(shí)出題比較靈活，可直接出題，也可以根據(jù)矩陣A的特征值、特征向量來(lái)確定矩陣A中的參數(shù)或者確定矩陣A。另外由于實(shí)對(duì)稱矩陣不同特征值的特征向量是相互正交的，這樣還可以由已知特征值λ1的特征向量確定出λ2(λ2≠λ1)對(duì)應(yīng)的特征向量，從而確定出矩陣A。
3、相似對(duì)角化之后的應(yīng)用，主要是利用矩陣的相似對(duì)角化計(jì)算行列式或者求矩陣的方冪。
▶第六章 二次型
二次型這一章的重點(diǎn)實(shí)質(zhì)還是實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化問(wèn)題。這一章節(jié)要求大家掌握二次型的矩陣表示，用矩陣的方法研究二次型的問(wèn)題主要有兩個(gè)：
1、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形
主要是利用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，這是考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)的重點(diǎn)大題題型，考生一定要掌握其做題的基本步驟�；涡蜑闃�(biāo)準(zhǔn)型的實(shí)質(zhì)也是實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化問(wèn)題。
2、二次型的正定性問(wèn)題
這一知識(shí)點(diǎn)主要考查小題。對(duì)具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來(lái)判別，而抽象矩陣的正定性判斷可以通過(guò)利用標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，特征值等得到證明，這時(shí)應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。
考研數(shù)學(xué)如何研究和用好典型題型
一、面對(duì)一道典型例題，在做這道題以前你必須考慮，它該從哪個(gè)角度切入，為什么要從這個(gè)角度切入。做題的過(guò)程中，必須考慮為什么要用這幾個(gè)原理，而不用那幾個(gè)原理，為什么要這樣對(duì)這個(gè)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，而不那樣化簡(jiǎn)。做完之后，必須要回過(guò)頭看一下，這個(gè)解題方法適合這個(gè)題的關(guān)鍵是什么，為什么偏偏這個(gè)方法在這道題上出現(xiàn)了最好的效果，有沒(méi)有更好的解法……就這樣從開(kāi)始到最后，每一步都進(jìn)行全方位的思考，那么這道題的價(jià)值就會(huì)得到充分的發(fā)掘。
二、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，重在做題，熟能生巧。對(duì)于數(shù)學(xué)的基本概念、公式、結(jié)論等也只有在反復(fù)練習(xí)中才能真正理解與鞏固。數(shù)學(xué)試題雖然千變?nèi)f化，其知識(shí)結(jié)構(gòu)卻基本相同，題型也相對(duì)固定，往往存在一定的解題套路，熟練掌握后既能提高正確率，又能提高解題速度。此外，還要初步進(jìn)行解答綜合題的訓(xùn)練。數(shù)學(xué)考研題的重要特征之一就是綜合性強(qiáng)、知識(shí)覆蓋面廣，近幾年來(lái)較為新穎的綜合題愈來(lái)愈多。這類試題一般比較靈活，難度也要大一些，應(yīng)逐步進(jìn)行訓(xùn)練，積累解題經(jīng)驗(yàn)。這也有利于進(jìn)一步理解并徹底弄清楚知識(shí)點(diǎn)的縱向與橫向聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為自己真正掌握了的東西，能夠在理解的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用、觸類旁通。
三、同時(shí)要善于思考，歸納解題思路與方法。一個(gè)題目有條件，有結(jié)論，當(dāng)你看見(jiàn)條件和結(jié)論想起了什么?這就是思路。思路有些許偏差，解題過(guò)程便千差萬(wàn)別�？佳袛�(shù)學(xué)復(fù)習(xí)光靠做題也是不夠的，更重要的是應(yīng)該通過(guò)做題，歸納總結(jié)出一些解題的方法和技巧�？忌谧鲱}時(shí)鞏固基礎(chǔ)，在更高層次上把握和運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)。對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題最好能形成自己熟悉的解題體系，也就是對(duì)各種題型都能找到相應(yīng)的解題思路，從而在最后的實(shí)考中面對(duì)陌生的試題時(shí)能把握主動(dòng)。
基礎(chǔ)的重要性已不言而喻，但是只注重基礎(chǔ)，也是不行的。太注重基礎(chǔ)，就會(huì)拘泥于書(shū)本，難以適應(yīng)考研試題。打好基礎(chǔ)的目的就是為了提高。但太重提高就會(huì)基礎(chǔ)不牢，導(dǎo)致頭重腳輕，力不從心�？忌靼谆A(chǔ)與提高的辯證關(guān)系，根據(jù)自身情況合理安排復(fù)習(xí)進(jìn)度，處理好打基礎(chǔ)和提高能力兩者的關(guān)系。一般來(lái)說(shuō)，基礎(chǔ)與提高是交插和分段進(jìn)行的，在一個(gè)時(shí)期的某一個(gè)階段以基礎(chǔ)為主，基礎(chǔ)扎實(shí)了，再行提高。然后又進(jìn)入了另一個(gè)階段，同樣還要先扎實(shí)基礎(chǔ)再提高水平，如此反復(fù)循環(huán)�？忌谶@個(gè)過(guò)程中容易遇到這樣的問(wèn)題，就是感覺(jué)自已經(jīng)過(guò)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)或一段時(shí)間的提高后幾乎不再有所進(jìn)步，甚至感到越學(xué)越退步，碰到這種情況，考生千萬(wàn)不要?dú)怵H，要堅(jiān)信自己的能力，只要復(fù)習(xí)方法沒(méi)有問(wèn)題，就應(yīng)該堅(jiān)持下去。雖然表面上感到?jīng)]有進(jìn)步，但實(shí)際水平其實(shí)已經(jīng)在不知不覺(jué)中提高了，因?yàn)樵谶@個(gè)時(shí)期考生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了自已的不足，正處于調(diào)整和進(jìn)步中。這個(gè)時(shí)候需要的就是考生的意志力，考研本來(lái)就是一場(chǎng)意志力的比賽，不僅需要豐富的知識(shí)和較高的能力，更要有堅(jiān)強(qiáng)的意志力。只要堅(jiān)持下去，就有成功的希望。
希望大家在復(fù)習(xí)過(guò)程中要加強(qiáng)考研數(shù)學(xué)綜合解題能力的訓(xùn)練，熟悉常見(jiàn)考題的類型和解題思路，力求在解題思路上有所突破。
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