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橢圓及其標準方程教學設(shè)計
教學目標
1.把握橢圓的定義,把握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程;
2.能根據(jù)條件確定橢圓的標準方程,把握運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程;
3.通過對橢圓概念的引入教學,培養(yǎng)學生的觀察能力和探索能力;
4.通過橢圓的標準方程的推導,使學生進一步把握求曲線方程的一般方法,并滲透數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)化的思想方法,提高運用坐標法解決幾何問題的能力;
5.通過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程,激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性,培養(yǎng)學生的學習愛好和創(chuàng)新意識.
教學建議
教材分析
1. 知識結(jié)構(gòu)
2.重點難點分析
重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式.難點是橢圓標準方程的建立和推導.關(guān)鍵是把握建立坐標系與根式化簡的方法.
橢圓及其標準方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內(nèi)容:一是橢圓的定義;二是橢圓的標準方程.橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先碰到的,所以教材把對橢圓的研究放在了重點,在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應(yīng)用.先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然.學好橢圓對于學生學好圓錐曲線是非常重要的.
(1)對于橢圓的定義的理解,要抓住橢圓上的點所要滿足的條件,即橢圓上點的幾何性質(zhì),可以對比圓的定義來理解.
另外要注重到定義中對“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于 .這樣規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種非凡情況,即:“當常數(shù)等于 時軌跡是一條線段;當常數(shù)小于 時無軌跡”.這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質(zhì).但講解橢圓的定義時注重不要忽略這兩種非凡情況,以保證對橢圓定義的準確性.
(2)根據(jù)橢圓的定義求標準方程,應(yīng)注重下面幾點:
�、偾�的方程依靠于坐標系,建立適當?shù)淖鴺讼?是求曲線方程首先應(yīng)該注重的地方.應(yīng)讓學生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進行推理,發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對稱軸,以這兩條對稱軸作為坐標系的兩軸,不但可以使方程的推導過程變得簡單,而且也可以使最終得出的方程形式整潔和簡潔.
�、谠O(shè)橢圓的焦距為 ,橢圓上任一點到兩個焦點的距離為 ,令 ,這些措施,都是為了簡化推導過程和最后得到的方程形式整潔、簡潔,要讓學生認真領(lǐng)會.
�、墼诜匠痰耐茖н^程中碰到了無理方程的化簡,這既是我們今后在求軌跡方程時經(jīng)常碰到的問題,又是學生的難點.要注重說明這類方程的化簡方法:①方程中只有一個根式時,需將它單獨留在方程的一側(cè),把其他項移至另一側(cè);②方程中有兩個根式時,需將它們分別放在方程的兩側(cè),并使其中一側(cè)只有一項.
�、芙炭茣蠈E圓標準方程的推導,實際上只給出了“橢圓上點的坐標都適合方程 “而沒有證實,”方程 的解為坐標的點都在橢圓上”.這實際上是方程的同解變形問題,難度較大,對同學們不作要求.
(3)兩種標準方程的橢圓異同點
中心在原點、焦點分別在 軸上, 軸上的橢圓標準方程分別為: , .它們的相同點是:外形相同、大小相同,都有 , .不同點是:兩種橢圓相對于坐標系的位置不同,它們的焦點坐標也不同.
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