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最短路徑的算法

小河邊有兩個(gè)村莊A，B，要在河邊建一自來(lái)水廠向A村與B村供水，若要使廠部到A，B村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪建廠?要回答出這個(gè)問(wèn)題，我們就要了解一下最短路徑的相關(guān)知識(shí)。以下是小編與大家分享最短路徑的知識(shí)。

　　最短路徑

　　最短路徑，是指用于計(jì)算一個(gè)節(jié)點(diǎn)到其他所有節(jié)點(diǎn)的最短的線(xiàn)路。主要特點(diǎn)是以起始點(diǎn)為中心向外層層擴(kuò)展，直到擴(kuò)展到終點(diǎn)為止。Dijkstra算法能得出最短路徑的最優(yōu)解，但由于它遍歷計(jì)算的節(jié)點(diǎn)很多，所以效率低。最短路徑問(wèn)題是圖論研究中的一個(gè)經(jīng)典算法問(wèn)題，旨在尋找圖(由結(jié)點(diǎn)和路徑組成的)中兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。

　　最短路徑問(wèn)題

　　最短路徑問(wèn)題是圖論研究中的一個(gè)經(jīng)典算法問(wèn)題，旨在尋找圖(由結(jié)點(diǎn)和路徑組成的)中兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。算法具體的形式包括：

　　確定起點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題- 即已知起始結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問(wèn)題。適合使用Dijkstra算法。

　　確定終點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題- 與確定起點(diǎn)的問(wèn)題相反，該問(wèn)題是已知終結(jié)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑的問(wèn)題。在無(wú)向圖中該問(wèn)題與確定起點(diǎn)的問(wèn)題完全等同，在有向圖中該問(wèn)題等同于把所有路徑方向反轉(zhuǎn)的確定起點(diǎn)的問(wèn)題。

　　確定起點(diǎn)終點(diǎn)的最短路徑問(wèn)題- 即已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑。

　　全局最短路徑問(wèn)題- 求圖中所有的最短路徑。適合使用Floyd-Warshall算法。

　　Dijkstra算法

　　1.定義概覽

　　Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的單源最短路徑算法，用于計(jì)算一個(gè)節(jié)點(diǎn)到其他所有節(jié)點(diǎn)的最短路徑。主要特點(diǎn)是以起始點(diǎn)為中心向外層層擴(kuò)展，直到擴(kuò)展到終點(diǎn)為止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路徑算法，在很多專(zhuān)業(yè)課程中都作為基本內(nèi)容有詳細(xì)的介紹，如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，圖論，運(yùn)籌學(xué)等等。注意該算法要求圖中不存在負(fù)權(quán)邊。

　　問(wèn)題描述：在無(wú)向圖 G=(V,E) 中，假設(shè)每條邊 E[i] 的長(zhǎng)度為 w[i]，找到由頂點(diǎn) V0 到其余各點(diǎn)的最短路徑。(單源最短路徑)

　　2.算法描述

　　1)算法思想：設(shè)G=(V,E)是一個(gè)帶權(quán)有向圖，把圖中頂點(diǎn)集合V分成兩組，第一組為已求出最短路徑的頂點(diǎn)集合(用S表示，初始時(shí)S中只有一個(gè)源點(diǎn)，以后每求得一條最短路徑 , 就將加入到集合S中，直到全部頂點(diǎn)都加入到S中，算法就結(jié)束了)，第二組為其余未確定最短路徑的頂點(diǎn)集合(用U表示)，按最短路徑長(zhǎng)度的遞增次序依次把第二組的頂點(diǎn)加入S中。在加入的過(guò)程中，總保持從源點(diǎn)v到S中各頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度不大于從源點(diǎn)v到U中任何頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度。此外，每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)距離，S中的頂點(diǎn)的距離就是從v到此頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度，U中的頂點(diǎn)的距離，是從v到此頂點(diǎn)只包括S中的頂點(diǎn)為中間頂點(diǎn)的當(dāng)前最短路徑長(zhǎng)度。

　　2)算法步驟：

　　a.初始時(shí)，S只包含源點(diǎn)，即S={v}，v的距離為0。U包含除v外的其他頂點(diǎn)，即:U={其余頂點(diǎn)}，若v與U中頂點(diǎn)u有邊，則正常有權(quán)值，若u不是v的出邊鄰接點(diǎn)，則權(quán)值為∞。

　　b.從U中選取一個(gè)距離v最小的頂點(diǎn)k，把k，加入S中(該選定的距離就是v到k的最短路徑長(zhǎng)度)。

　　c.以k為新考慮的中間點(diǎn)，修改U中各頂點(diǎn)的距離;若從源點(diǎn)v到頂點(diǎn)u的距離(經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)k)比原來(lái)距離(不經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)k)短，則修改頂點(diǎn)u的距離值，修改后的距離值的頂點(diǎn)k的距離加上邊上的權(quán)。

　　d.重復(fù)步驟b和c直到所有頂點(diǎn)都包含在S中。

　　Floyd算法

　　1.定義概覽

　　Floyd-Warshall算法(Floyd-Warshall algorithm)是解決任意兩點(diǎn)間的最短路徑的一種算法，可以正確處理有向圖或負(fù)權(quán)的最短路徑問(wèn)題，同時(shí)也被用于計(jì)算有向圖的傳遞閉包。Floyd-Warshall算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(N3)，空間復(fù)雜度為O(N2)。

　　2.算法描述

　　1)算法思想原理：

　　Floyd算法是一個(gè)經(jīng)典的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法。用通俗的語(yǔ)言來(lái)描述的話(huà)，首先我們的目標(biāo)是尋找從點(diǎn)i到點(diǎn)j的最短路徑。從動(dòng)態(tài)規(guī)劃的角度看問(wèn)題，我們需要為這個(gè)目標(biāo)重新做一個(gè)詮釋(這個(gè)詮釋正是動(dòng)態(tài)規(guī)劃最富創(chuàng)造力的精華所在)

　　從任意節(jié)點(diǎn)i到任意節(jié)點(diǎn)j的最短路徑不外乎2種可能，1是直接從i到j(luò)，2是從i經(jīng)過(guò)若干個(gè)節(jié)點(diǎn)k到j(luò)。所以，我們假設(shè)Dis(i,j)為節(jié)點(diǎn)u到節(jié)點(diǎn)v的最短路徑的距離，對(duì)于每一個(gè)節(jié)點(diǎn)k，我們檢查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，證明從i到k再到j(luò)的路徑比i直接到j(luò)的路徑短，我們便設(shè)置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，這樣一來(lái)，當(dāng)我們遍歷完所有節(jié)點(diǎn)k，Dis(i,j)中記錄的便是i到j(luò)的最短路徑的距離。

　　2).算法描述：

　　a.從任意一條單邊路徑開(kāi)始。所有兩點(diǎn)之間的距離是邊的權(quán)，如果兩點(diǎn)之間沒(méi)有邊相連，則權(quán)為無(wú)窮大。

　　b.對(duì)于每一對(duì)頂點(diǎn) u 和 v，看看是否存在一個(gè)頂點(diǎn) w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。如果是更新它。

　　3).Floyd算法過(guò)程矩陣的計(jì)算----十字交叉法

　　方法：兩條線(xiàn)，從左上角開(kāi)始計(jì)算一直到右下角如下所示

　　給出矩陣，其中矩陣A是鄰接矩陣，而矩陣Path記錄u,v兩點(diǎn)之間最短路徑所必須經(jīng)過(guò)的點(diǎn)

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