關(guān)于巧用三角函數(shù)求解物理量極值問(wèn)題
三角函數(shù)求物理量的極值，往往是求出與被求物理量相關(guān)的三角函數(shù)表達(dá)式，經(jīng)過(guò)三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)化簡(jiǎn)，再利用三角函數(shù)的有界性或不等式等知識(shí)進(jìn)行處理得出結(jié)論.下面我們就來(lái)看幾例利用三角函數(shù)求解物理極值的問(wèn)題，以求在教學(xué)中能對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的這方面能力有所幫助.
1 利用兩角和（差）公式及三角函數(shù)有界性求解
解析 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)受力情況和牛頓第二定律，可知質(zhì)點(diǎn)在光滑斜軌道上的加速度
a=FM=gcosα，
在△APB中，∠APB=∠CPB-∠CPA=θ-α，
由幾何知識(shí)有PA=s=PBcos（θ-α）=hcos（θ-α）.
則質(zhì)點(diǎn)沿PA做v0=0的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
t=2sa=2hgcos（θ-α）cosα.
令y=cos（θ-α）cosα，則由“積化和差”公式：
cosβcosα =12，
得y=12，
此時(shí)時(shí)間的最小值t=2hgymax=2hg（cosθ+1）.
本題不用“積化和差”公式而用其他辦法也可求極值，但比較麻煩.另外此題結(jié)論可用“等時(shí)圓”加以驗(yàn)證.
2 利用“化一”法求三角函數(shù)極值
對(duì)于較為復(fù)雜的三角函數(shù)，例如y=asinθ+bcosθ，要求極值時(shí)，先需要把不同名的三角函數(shù)sinθ和cosθ，變成同名的三角函數(shù)，這個(gè)工作叫做“化一”.
因?yàn)?y=asinθ+bcosθ
=a2+b2（aa2+b2sinθ+ba2+b2cosθ）
=a2+b2（cossinθ+sincosθ）
=a2+b2sin（θ+），
其中tan=bal，故y的極大值為a2+b2.
例2 如圖2所示，在豎直放置的光滑絕緣圓環(huán)上，有一帶負(fù)電可以滑動(dòng)的.小球m套在環(huán)的頂端，整個(gè)裝置在圖示的正交的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)與圓環(huán)的圓面垂直，若小球所受的電場(chǎng)力和重力大小相等，則當(dāng)小球沿著環(huán)相對(duì)圓心滑過(guò)的角度多大時(shí)，它所受的洛倫茲力最大？
解析 因小球運(yùn)動(dòng)的v總與B垂直，故洛倫茲力表達(dá)式為：f=Bqv，只要速度達(dá)最大，洛倫茲力即最大，則由動(dòng)能定理知當(dāng)合外力做功WE+WG最大時(shí)滿(mǎn)足條件，設(shè)小球從圖示位置轉(zhuǎn)過(guò)θ角，則
WE+WG=Eqrsinθ+mgr（1-cosθ）
=mgr（sinθ-cosθ+1）
=mgr2sin（θ-45°）+1.
由上式知當(dāng)θ=145°時(shí)合外力做功最大.即物體獲得速度最大，滿(mǎn)足條件.
3 利用基本不等式與三角函數(shù)結(jié)合來(lái)處理
如果a，b，c為正數(shù)，則有a+b+c≥3abc，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，上式取“=”號(hào).
推論：
�、偃齻�(gè)正數(shù)的積一定時(shí)，三數(shù)相等時(shí)，其和最��；
�、谌齻�(gè)正數(shù)的和一定時(shí)，三數(shù)相等時(shí)，其積最大.
例3 如圖3所示的帶等量同種電荷的兩個(gè)點(diǎn)電荷A、B所帶電量均為Q，相距2a，則在它們連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上，哪一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度最大？最大值為多少？
解析 設(shè)在點(diǎn)電荷A、B的連線(xiàn)的中垂線(xiàn)上有一點(diǎn)P，且AP與中垂線(xiàn)夾角為θ，則
將（3）式左右都平方，并整理成
=427（2kQa2）2，
所以E≤43kQ9a2.
就是說(shuō)，當(dāng)θ=arctan2（差不多是55°）時(shí)，P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度最大：
Emax=43kQ9a2.
4 利用導(dǎo)數(shù)法求解三角函數(shù)極值問(wèn)題
若物理量曲線(xiàn)的切線(xiàn)的斜率為零時(shí)，說(shuō)明這個(gè)時(shí)候物理量的變化率為零，這時(shí)，該物理量一定具有極值，可能是最大值，也可能是最小值，也可能是變化過(guò)程中的極值.這為我們求物理量的最大值和最小值提供了方法.
例4 一輕繩一端固定在O點(diǎn)，另一端拴著一小球，拉起小球使輕繩水平，然后無(wú)初速的釋放，如圖所示，小球在運(yùn)動(dòng)至輕繩達(dá)到垂直位置過(guò)程中，小球所受重力功率的最大值？
解析 設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到與水平方向成α角，則速度v和重力mg之間的夾角也為α，小球從A到C由動(dòng)能定理
由功率定義式P=mgvcosa=mg2gRsinαcos2α，對(duì)功率P求導(dǎo)：
P′=mg2gR（cos3α-2sin2αcosα）2sinαcosα
解得sinα=33時(shí)P具有極值，再求P在sinα=33處的二階導(dǎo)數(shù)，p″=-mg2gRcosαsinα
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