關(guān)于數(shù)學(xué)平角和直線的知識點(diǎn)
“平角”和“直線”
射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OC和起始位置OA成一直線時，所成的角叫做平角，如圖1。
平角的大小為180°。
由于平角的兩邊成一條直線（圖2），如果不附加某種特殊的標(biāo)志，那么平角的圖形很容易與直線（圖3）的圖形混淆。
為了避免這種混淆，我們在角的內(nèi)部，圍繞角的頂點(diǎn)畫一條小圓弧，并注上箭頭（圖4），∠AOB就表示一個平角。這樣就可以把平角的圖形和直線的圖形區(qū)別開來了。
與“平角”和“直線”這對容易混淆的概念類似的，還有“周角”與“射線”這對概念。
什么是周角?射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置與起始位置重合時，所形成的角叫做周角。這時周角的兩邊互相重合，成為一條射線。
為了使周角的圖形與射線的圖形區(qū)分開來，我們以O(shè)為圓心畫一個小圓，并用箭頭表示旋轉(zhuǎn)方向，如圖5。
易混概念辨析 直角和90°
“直角”和“90°”
老師問同學(xué)：“什么是直角?”
有的同學(xué)回答：“直角就是90°。”
這樣回答對嗎?不對�！爸苯恰焙汀�90°”有著本質(zhì)的區(qū)別。我們先舉一個通俗的例子：
張強(qiáng)的體重是50千克。張強(qiáng)是個人，50千克是他的體重，不能把張強(qiáng)這個人和他的體重50千克兩個不同的概念等同起來。
直角是一個圖形，它是平角的一半�！�90°”是一個量，它表示“直角”的大小。不能把一個圖形和這個圖形的大小這兩個不同的概念混淆起來。因此，正確回答“什么是直角”應(yīng)該是“直角是平角的一半”或“90°的角是直角”。
長江大橋上急駛而過的火車與橋下航行的一艘輪船運(yùn)動的軌跡，可以理解為兩條直線，這是兩條互相垂直的異面直線，它們所成的角是90°。不能把“兩條互相垂直的異面直線”和“90°”混為一談。
電線桿與地面垂直，可以理解為一直線垂直于一平面，它們所成的角也是90°。不能把“一直線垂直于一平面”和“90°”混為一談。
墻壁和地面垂直，是互相垂直的兩個平面，它們所成的角仍然是90°。不能把“互相垂直的兩個平面”與“90°”相混淆。
由此可見，直角、互相垂直的二平面，這些都是圖形，它們的大小皆為90°，這是一個量。這里，“90°”和有關(guān)圖形的區(qū)別是十分明顯的。
與“直角”和“90°”這對容易混淆的概念類似的，“連結(jié)兩點(diǎn)的線段”和“兩點(diǎn)的距離”也是一對容易混淆的概念。前者表示線段AB，它是一個圖形。后者表示這條線段的長，它是一個量。
作為練習(xí)，請同學(xué)們回答：
什么叫平角，平角有多大?
什么叫周角，周角有多大?
什么叫半圓內(nèi)的圓周角?半圓內(nèi)的圓周角有多大?
易混概念辨析 幾何體和物體
“幾何體”和“物體”
在我們的現(xiàn)實(shí)生活中，存在著各種各樣的物體：
籃球，足球，排球……
梨子，橘子，蘋果，香蕉……
自來水管，電線桿，筆桿……
冰箱，衣柜，金字塔，河堤……
各式各樣的建筑物；
……
物體有各種性質(zhì)：
輕重，軟硬，顏色，導(dǎo)電性……這些是物理性質(zhì)；
組成的元素，氧化、還原性，溶解性……這些是化學(xué)性質(zhì)；
異化作用，新陳代謝，光合作用，呼吸作用……這些是生物性質(zhì)；
形狀，位置，大小，這些是物體的幾何性質(zhì)。
只研究物體的形狀、位置和大小，而不研究它們的物理性質(zhì)、化學(xué)性質(zhì)、生物性質(zhì)……這樣抽象出來的物體的表象就叫幾何體。例如，同樣大小的鉛球和木球，它們的物理性質(zhì)不同，化學(xué)性質(zhì)不同，但它們的形狀、大小完全相同，因此，它們是完全相同的幾何體。
整個幾何學(xué)所研究的內(nèi)容，就是各種各樣幾何圖形的形狀、位置和大小關(guān)系。例如，在下面這段敘述中：
“在直線l上，自A點(diǎn)起，截取線段AB=a�！�
“在直線l上”表示所作圖形的位置；“線段”說明所作圖形的形狀;“AB=a”表示這個圖形的大小。
又如“以O(shè)點(diǎn)為圓心，r為半徑畫圓”。其中“以O(shè)點(diǎn)為圓心”表示所畫圖形的位置；“以r為半徑”表示所畫圖形的大小；“圓”表示所畫圖形的形狀。
再如“到空間一定點(diǎn)O距離小于或等于定長r點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)O為球心、半徑為r的球”。這里“定點(diǎn)O”是說明圖形的位置，“小于或等于定長r”是說明圖形的大小，“球”是說明圖形的形狀。
易混概念辨析 互斥事件和互逆事件
“互斥事件”和“互逆事件”
世界上很多事情是互相排斥的：有甲便無乙，有乙便無甲，二者不可兼而有之。例如，“明天中午南京天氣晴朗”與“明天中午南京天陰”這兩個預(yù)斷就是互相排斥的，因?yàn)槊魈熘形缒暇┑奶鞖獠豢赡芗仁乔缣煊质顷幪�，不可能在同一時間、同一地點(diǎn)出現(xiàn)又是晴天又是陰天的情形。又如，“兩球外切”與“兩球相離”也是互相排斥的，因?yàn)楫?dāng)兩球球心與半徑一定后，既然它們的位置關(guān)系是外切，就不會同時又相離。
如果兩個事件A與B不能同時發(fā)生，我們就稱A與B為互斥事件，或稱為互不相容的事件，用符號AB=V表示。上面所講“明天中午南京天氣晴朗”與“明天中午南京天陰”就是互斥事件，“兩球外切”與“兩球相離”也是互斥事件。
工廠檢查一件產(chǎn)品，“產(chǎn)品合格”與“產(chǎn)品不合格”是截然相反的兩件事，對于某一件產(chǎn)品而言，二者必居其一，且不可兼而有之。也就是說，這件產(chǎn)品要么合格，要么不合格，不可能既合格又不合格。某同學(xué)參加一次數(shù)學(xué)競賽，不是獲勝就是失敗，不可能既是優(yōu)勝者，又是失敗者。
我們把事件A與事件“非A”叫做互逆事件，又稱為對立事件。
事件“非A”通常用表示，叫做A的逆事件。顯然，在每一次實(shí)踐中，A與不可能同時發(fā)生，又二者必居其一。事件A與B為互逆事件用下列兩個等式表示：AB=V，A∪B=U（意即“A與B至少發(fā)生其一”)。上面所講“產(chǎn)品合格”與“產(chǎn)品不合格”，“獲勝”與“失敗”，都是互逆事件。
互斥事件與互逆事件是概率計(jì)算中需要用到的一對概念，在實(shí)際中是很有用處的。
可以看出，互逆事件必為互斥事件。如“這件產(chǎn)品是合格的”與“這件產(chǎn)品不合格”不可能同時出現(xiàn)，所以它們是互逆的，也是互斥的。但是互斥事件則未必為互逆事件。如“晴朗’與“陰天”是互斥的，但不是互逆的。因?yàn)�，不是說天氣“不晴朗”就一定是“陰天”。天氣不晴朗，可能是下雨、下雪。又如“兩球外切”與“兩球相離”是互斥的，但也不是互逆的。因?yàn)椋荒苷f“兩球不外切”，就一定是兩球相離。兩球不外切，還可能內(nèi)切，內(nèi)含，相交。
所以互逆事件是互斥事件的特例，互斥事件是互逆事件的.一般形式。
易混概念辨析 余子式和代數(shù)余子式
“余子式”和“代數(shù)余子式”
行列式是解線性方程組的有力工具。但是，行列式的展開，對于二階、三階行列式來說還比較方便，而對于高于三階行列式的展開，則沒有一般規(guī)律可循。這時，把高階行列式降階，使它轉(zhuǎn)化為較低階的行列式，則是一條可行的道路�！坝嘧邮健焙汀按鷶�(shù)余子式”就是適應(yīng)這種需要而產(chǎn)生的。
把行列式中某一元素所在的行與列劃去后，剩下的元素按行列順序排列所組成的行列式，叫做原行列式中對應(yīng)于這個元素的余子式。
例如，在行列式
中，對應(yīng)于元素a2的余子式為
設(shè)行列式中某一元素位于第i行第j列，把對應(yīng)于這個元素的余子式乘上(-1)i+j后，所得到的式子叫做原行列式中對應(yīng)于這個元素的代數(shù)余子式。
例如，在上面的行列式D中，元素a2位于第二行第一列，即i=2，j=1，則i+j=2+1=3。
所以，對應(yīng)于a2的代數(shù)余子式為
即
下面舉一個例子，幫助大家掌握余子式和代數(shù)余子式的概念。
例：已知行列式
求行列式中元素-5的余子式與代數(shù)余子式。
解：-5的余子式為：
-5的代數(shù)余子式為：
有了余子式和代數(shù)余子式的概念，根據(jù)下述定理，我們就可以展開任意一個行列式。
定理：行列式等于它的任意一行（或一列）的所有元素與它們各自對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和。
下面我們舉一個例子，說明如何用這個定理展開一個行列式，從而降階求值。
例：把行列式
按第一行展開，然后進(jìn)行計(jì)算。
易混概念辨析 每一個和有一個
“每一個”和“有一個”
數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。在數(shù)學(xué)里，對數(shù)量用詞要予以特別謹(jǐn)慎�！懊恳粋�”和“有一個”，兩者僅一字之差，但意義完全不同。
如果對所討論對象每一個元素都下了判斷，那么這樣的命題叫做“全稱命題”�！懊恳粋�”就是一種全稱量詞。全稱量詞還常與副詞“都”聯(lián)用。如“對頂角都相等”，就是“每一對對頂角都是相等的”。在數(shù)學(xué)中，常會遇到全稱命題。
例如，對于函數(shù)y=f(x)，若對每一個x，都有
f(-x)=-f(x)
我們就把函數(shù)y=f(x)稱為奇函數(shù)。
又如，對于數(shù)列{an｝，若對于每一個自然數(shù)n，都有
an＜an+1
則稱數(shù)列{an｝為遞增數(shù)列。
要證明一個全稱命題為真，主要有兩種思路：
第一種是用完全歸納法，包括數(shù)學(xué)歸納法；
第二種是在所討論的對象中，挑出一個具有充分代表性的元素，然后證明它有某種性質(zhì)。由于這一個具有代表性的元素有某種性質(zhì)，所以所討論對象里每一個元素也都有這一性質(zhì)。
例1：從A、B、C、D、E、F六個人中選三人。(1)A、B都選；(2)A、B都不選；(3)A、B不都選。三種情形各有幾種選法?
解：(1)因?yàn)楣策x三人，A、B都要選，只要再選一人就可以了。而這一人只能從C、D、E、F四人中選。所以有即4種方法。
(2)A、B都不選，那么只能從余下的四人中選三人，所以有即4種方法。
(3)A、B不都選，有三種可能：
“有一個”叫特稱量詞。特稱量詞還可以表示為“有”、“存在著”、“存在一個”、“至少存在一個”。
易混概念辨析 排列數(shù)和一個排列
“排列數(shù)”和“一個排列”
“一個排列”指的是“從n個不同元素中，任取出m個元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事。
“排列數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數(shù)”，它是一個數(shù)。
例如，從3個元素a、b、c中每次取出2個元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：
ab，ac，ba，bc，ca，cb
其中每一種都叫做一個排列，共有6種，而數(shù)字6就是排列數(shù)，符號表示排列數(shù)。
與此類似的，要區(qū)分“組合數(shù)”和“一個組合”這兩個概念。
“一個組合”是指“從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素并成一組”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事；組合數(shù)是指從n個不同元素中取出m個元素的所有組合的個數(shù)，它是一個數(shù)。
例如，從3個元素a、b、c中每次取出2個元素的組合為
ab，ac，bc
其中每一種都叫做一個組合，共有3種，而數(shù)字3就是組合數(shù)，符號表示組合數(shù)。
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