牛吃草數(shù)學(xué)題
牛頓問題又稱牛吃草問題或消長問題，是17世紀(jì)英國偉大的科學(xué)家牛頓提出來的，以下是小編為大家整理的牛吃草數(shù)學(xué)題，僅供參考，希望能夠幫助大家。
【含義】 “牛吃草”問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長這個(gè)因素。
【數(shù)量關(guān)系】 草總量=原有草量+草每天生長量×天數(shù)
【解題思路和方法】 解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。
例1 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完?
解：草是均勻生長的，所以，草總量=原有草量+草每天生長量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5 天內(nèi)的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛? 設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：
(1)求草每天的生長量
因?yàn)�，一方�?0天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即(1×10×20);
另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長量，
所以1×10×20=原有草量+20天內(nèi)生長量，
同理1×15×10=原有草量+10天內(nèi)生長量
由此可知 (20-10)天內(nèi)草的生長量為 1×10×20-1×15×10=50，
因此，草每天的生長量為 50÷(20-10)=5;
(2)求原有草量
原有草量=10天內(nèi)總草量-10內(nèi)生長量=1×15×10-5×10=100;
(3)求5 天內(nèi)草總量
5 天內(nèi)草總量=原有草量+5天內(nèi)生長量=100+5×5=125;
(4)求多少頭牛5 天吃完草
因?yàn)槊款^牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數(shù) 125÷5=25(頭)
答：需要5頭牛5天可以把草吃完。
例2 一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個(gè)人淘水，3小時(shí)可以淘完;如果只有5人淘水，要10小時(shí)才能淘完。求17人幾小時(shí)可以淘完?
解 這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)(相當(dāng)于“牛數(shù)”)，求時(shí)間。設(shè)每人每小時(shí)淘水量為1，按以下步驟計(jì)算：
(1)求每小時(shí)進(jìn)水量
因?yàn)椋?小時(shí)內(nèi)的總水量=1×12×3=原有水量+3小時(shí)進(jìn)水量，
10小時(shí)內(nèi)的總水量=1×5×10=原有水量+10小時(shí)進(jìn)水量
所以，(10-3)小時(shí)內(nèi)的`進(jìn)水量為 1×5×10-1×12×3=14，
因此，每小時(shí)的進(jìn)水量為 14÷(10-3)=2;
(2)求淘水前原有水量
原有水量=1×12×3-3小時(shí)進(jìn)水量=36-2×3=30;
(3)求17人幾小時(shí)淘完
17人每小時(shí)淘水量為17，因?yàn)槊啃r(shí)漏進(jìn)水為2，所以實(shí)際上船中每小時(shí)減少的水量為(17-2)，所以17人淘完水的時(shí)間是 30÷(17-2)=2(小時(shí))
答：17人2小時(shí)可以淘完水。
例3一塊草地，每天生長的速度相同.現(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者供80只羊吃12天.如果一頭牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天?
分析 由于1頭牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天的吃草量和15頭牛每天吃草量相等，80只羊每天吃草量與20頭牛每天吃草量相等。
解：60只羊每天吃草量相當(dāng)多少頭牛每天的吃草量?
60÷4=15(頭)。
草地原有草量與20天新生長草量可供多少頭牛吃一天?
16×20=320(頭)。
80只羊12天的吃草量供多少頭牛吃一天?
(80÷4)×12=240(頭)。
每天新生長的草夠多少頭牛吃一天?
(320-240)÷(20-12)=10(頭)。
原有草量夠多少頭牛吃一天?
320-(20×10)=120(頭)。
原有草量可供10頭牛與60只羊吃幾天?
120÷(60÷4+10-10)=8(天)。
答：這塊草場可供10頭牛和60只羊吃8天。
例4 一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫.5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干;6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)?
解：水庫原有的水與20天流入水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天?20×5=100(臺(tái))。
水庫原有的水與15天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天?6×15=90(臺(tái))。
每天流入的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天?
(100-90)÷(20-15)=2(臺(tái))。
原有的水可供多少臺(tái)抽水機(jī)抽1天?
100-20×2=60(臺(tái))。
若6天抽完，共需抽水機(jī)多少臺(tái)?
60÷6+2=12(臺(tái))。
答：若6天抽完，共需12臺(tái)抽水機(jī)。
例5 有三片草場，每畝原有草量相同，草的生長速度？
設(shè)第三片草場(24畝)可供x頭牛18周吃完，則由每頭牛每周吃草量可列出方程為：
答：第三片草場可供36頭牛18周食用。
這道題列方程時(shí)引入a、b兩個(gè)輔助未知數(shù).在解方程時(shí)不一定要求出其數(shù)值，在本題中只需求出它們的比例關(guān)系即可。
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