數(shù)數(shù)與計數(shù)二年級上冊奧數(shù)知識點
從數(shù)數(shù)與計數(shù)中,可以發(fā)現(xiàn)重要的算術(shù)運算定律.
例1 數(shù)一數(shù),下面圖形中有多少個點?
解:方法1:從上到下一行一行地數(shù),見下圖.
點的總數(shù)是:
5+5+5+5=5×4.
方法2:從左至右一列一列地數(shù),見下圖.
點的總數(shù)是:4+4+4+4+4=4×5.
因為不論人們怎樣數(shù),點數(shù)的多少都是一定的,不會因為數(shù)數(shù)的方法不同而變化.所以應(yīng)有下列等式成立:
5×4=4×5
從這個等式中,我們不難發(fā)現(xiàn)這樣的事實:
兩個數(shù)相乘,乘數(shù)和被乘數(shù)互相交換,積不變.
這就是乘法交換律.
正因為這樣,在兩個數(shù)相乘時,以后我們也可以不再區(qū)分哪個是乘數(shù),哪個是被乘數(shù),把兩個數(shù)都叫做“因數(shù)”,因此,乘法交換律也可以換個說法:
兩個數(shù)相乘,交換因數(shù)的位置,積不變.
如果用字母a、b表示兩個因數(shù),那么乘法交換律可以表示成下面的形式:a×b=b×a.
方法3:分成兩塊數(shù),見右圖.
前一塊4行,每行3個點,共3×4個點.
后一塊4行,每行2個點,共2×4個點.
兩塊的總點數(shù)=3×4+2×4.
因為不論人們怎樣數(shù),原圖中總的點數(shù)的多少都是一定的,不會因為數(shù)數(shù)的方法不同而變化.所以應(yīng)有下列等式成立:
3×4+2×4=5×4.
仔細觀察圖和等式,不難發(fā)現(xiàn)其中三個數(shù)的關(guān)系:
3+2=5
所以上面的等式可以寫成:
3×4+2×4=(3+2)×4
也可以把這個等式調(diào)過頭來寫成:
(3+2)×4=3×4+2×4.
這就是乘法對加法的分配律.
如果用字母a、b、c代表三個數(shù),那么乘法對加法的分配律可以表示成下面的形式:
(a+b)×c=a×c+b×c
分配律的意思是說:兩個數(shù)相加之和再乘以第三數(shù)的積等于第一個數(shù)與第三個數(shù)的積加上第二個數(shù)與第三個數(shù)的積之和.
進一步再看,分配律是否也適用于括號中是減法運算的情況呢?請看下面的例子:
計算(3-2)×4和3×4-2×4.
解:(3-2)×4=1×4=4
3×4-2×4=12-8=4.
兩式的計算結(jié)果都是4,從而可知:
(3-2)×4=3×4-2×4
這就是說,這個分配律也適用于一個數(shù)與另一個數(shù)的差與第三個數(shù)相乘的情況.
如果用字母a、b、c(假設(shè)a>b)表示三個數(shù),那么上述事實可以表示如下:(a-b)×c=a×c-b×c.
正因為這個分配律對括號中的“+”和“-”號都成立,于是,通常人們就簡稱它為乘法分配律.
例2 數(shù)一數(shù),下左圖中的大長方體是由多少個小長方體組成的?
解:方法1:從上至下一層一層地數(shù),見上右圖.
第一層 4×2個
第二層 4×2個
第三層 4×2個
三層小長方體的總個數(shù)(4×2)×3個.
方法2:從左至右一排一排地數(shù),見下圖.
第一排 2×3個
第二排 2×3個
第三排 2×3個
第四排 2×3個
四排小長方體的總個數(shù)為(2×3)×4.
若把括號中的2×3看成是一個因數(shù),就可以運用乘法交換律,寫成下面的形式:4×(2×3).
因為不論人們怎樣數(shù),原圖中小長方體的總個數(shù)是一定的,不會因為數(shù)數(shù)的方法不同而變化.把兩種方法連起來看,應(yīng)有下列等式成立:(4×2)×3=4×(2×3).
這就是說在三個數(shù)相乘的運算中,改變相乘的順序,所得的積相同.
或是說,三個數(shù)相乘,先把前兩個數(shù)相乘再乘以第三個數(shù),或者先把后兩個數(shù)相乘,再去乘第一個數(shù),積不變,這就是乘法結(jié)合律.
如果用字母a、b、c表示三個數(shù),那么乘法結(jié)合律可以表示如下:(a×b)×c=a×(b×c).
巧妙地運用乘法交換律、分配律和結(jié)合律,可使得運算變得簡潔、迅速.
從數(shù)數(shù)與計數(shù)中,還可以發(fā)現(xiàn)巧妙的計算公式.
例3 數(shù)一數(shù),下圖中有多少個點?
解:方法1:從上至下一層一層地數(shù),見下圖.
總點數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.
方法2:補上一個同樣的三角形點群(但要上下顛倒放置)和原有的那個三角形點群共同拼成一個長方形點群,則顯然有下式成立(見下圖):
三角形點數(shù)=長方形點數(shù)÷2
因三角形點數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9
而長方形點數(shù)=10×9=(1+9)×9
代入上面的文字公式可得:
1+2+3+4+5+6+7+8+9
=(1+9)×9÷2=45.
進一步把兩種方法聯(lián)系起來看:
方法1是老老實實地直接數(shù)數(shù).
方法2可以叫做“拼補法”.經(jīng)拼補后,三角形點群變成了長方形點群,而長方形點群的點數(shù)就可以用乘法算式計算出來了.
即1+2+3+4+5+6+7+8+9
=(1+9)×9÷2.
這樣從算法方面講,拼補法的作用是把一個較復(fù)雜的連加算式變成了一個較簡單的乘除算式了.這種方法在700多年前的中國的古算書上就出現(xiàn)了.
再進一步,若脫離開圖形(點群)的背景,純粹從數(shù)的方面找規(guī)律,不難發(fā)現(xiàn)下述事實:
這個等式的左邊就是從1開始的連續(xù)自然數(shù)相加之和,第一個數(shù)1又叫首項,最后一個數(shù)9叫末項,共有9個數(shù)又可以說成共有9項,這樣,等式的含義就可以用下面的語言來表述:
從1開始的連續(xù)自然數(shù)前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數(shù)的積的一半.或是寫成下面的文字式:
和=(首項+末項)×項數(shù)÷2
這個文字式通常又叫做等差數(shù)列求和公式.
例4 數(shù)一數(shù),下圖中有多少個點?
解:方法1:從上至下一層一層地數(shù),見下圖:
總點數(shù)=2+3+4+5+6=20.
方法2:補上一個同樣的梯形點群,但要上下顛倒放置,和原圖一起拼成一個長方形點群如下圖所示:
由圖可見,有下列等式成立:
梯形點數(shù)=長方形點數(shù)÷2.
因為梯形點數(shù)=2+3+4+5+6
而長方形點數(shù)=8×5=(2+6)×5
代入上面的文字式,可得:
2+3+4+5+6=(2+6)×5÷2
與例1類似,我們用拼補法得到了一個計算梯形點群總點數(shù)的較為簡單的公式.
再進一步,若脫離開圖形(點群)的背景純粹從數(shù)的方面找找規(guī)律,不難發(fā)現(xiàn)下述事實:
這個等式的左邊就是一個等差數(shù)列的求和式,它的首項是2,末項是6,公差是1,項數(shù)是5.這樣這個等式的含義就可以用下面的語言來表述:
等差數(shù)列前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數(shù)的積的一半.
寫成下面較簡化的文字式:
和=(首項+末項)×項數(shù)÷2
這就是等差數(shù)列的求和公式.
例5 數(shù)一數(shù),下圖中有多少個小三角形?
解:方法1:從上至下一層一層地數(shù),見下圖.
小三角形總數(shù)=1+3+5+7=16個.
方法2:補上一個同樣的圖形,但要上下顛倒放置、和原來的一起拼成一個大平行四邊形如下圖所示.
顯然平行四邊形包含的小三角形個數(shù)等于原圖中的大三角形所包含的小三角形個數(shù)的'兩倍,即下式成立.
大三角形中所含=平行四邊形所含÷2
平行四邊形所含=8×4=(1+7)×4(個)
大三角形中所含=1+3+5+7=16
代入上述文字式:
1+3+5+7=(1+7)×4÷2
這樣,我們就得到了一個公式:
小三角形個數(shù)=(第一層的數(shù)+最末層的數(shù))×層數(shù)÷2
脫離開圖形的背景,純粹從數(shù)的方面進行考察,找找規(guī)律,不難發(fā)現(xiàn)下述事實:
等式左邊就表示一個等差數(shù)列的前幾項的和,它的首項是1,末項是7,公差是2,項數(shù)是4.這樣這個等式的含義也就可以用下面的語言來表述:
等差數(shù)列前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數(shù)之積的一半.
寫成較簡單的文字式:
和=(首項+末項)×項數(shù)÷2.
二年級奧數(shù)上冊:第二講 數(shù)數(shù)與計數(shù)
單元知識點:
1. 掌握至少兩種多個相同加數(shù)相加的方法;體會與乘法關(guān)系,根據(jù)加法列出乘法算式。
2. 乘法的意義、書寫、讀法。
3. 運用乘法解決生活中的實際問題。
課時知識點:
第一節(jié):數(shù)一數(shù)
會用兩種不同的方法(一排一排或一列一列地)數(shù)方陣排列的物體個數(shù),相應(yīng)列出兩個不同的連加算式。知道用乘法算式表示相同數(shù)連加比較簡便,體會學(xué)習(xí)乘法的必要性。
第二節(jié):兒童樂園
1.結(jié)合解決問題,經(jīng)歷把相同加數(shù)的連加算式抽象為乘法算式的過程。
2.能把相同加數(shù)的連加算式改寫成乘法算式并理解意義、掌握各部分名稱及讀法,并應(yīng)用加法計算簡單的乘法算式的結(jié)果。
第三節(jié):有幾塊積木
會用兩種不同的方法數(shù)排列的物體個數(shù),列出同一個乘法算式。
第四節(jié):動物聚會
會運用乘法解決生活中簡單的實際問題,體會乘法運算意義。
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