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奇怪的無(wú)窮多的五年級(jí)奧數(shù)問(wèn)題

時(shí)間:2021-07-07 16:00:26 數(shù)學(xué) 我要投稿

奇怪的無(wú)窮多的五年級(jí)奧數(shù)問(wèn)題

  五年級(jí)奧數(shù):奇怪的無(wú)窮多

  整數(shù)有多少個(gè)?

  無(wú)窮個(gè)。

  偶數(shù)有多少個(gè)?

  無(wú)窮個(gè)。

  這樣的回答是正確的。如果我問(wèn)你:

  整數(shù)與偶數(shù),哪一種數(shù)多?

  恐怕不少同學(xué)都會(huì)說(shuō),當(dāng)然整數(shù)比偶數(shù)多了。進(jìn)一步,恐怕還會(huì)有同學(xué)告訴我,“偶數(shù)的個(gè)數(shù)等于整數(shù)個(gè)數(shù)的一半”。什么道理呢?那是因?yàn)椤捌鏀?shù)與偶數(shù)合起來(lái)就是整數(shù)。而奇數(shù)與偶數(shù)是相同排列的,所以奇數(shù)與偶數(shù)一樣多,大家都是整數(shù)的一半!

  整數(shù)包括偶數(shù),偶數(shù)是整數(shù)的一部分,全體大于部分,整數(shù)比偶數(shù)多,這不是顯而易見(jiàn)、再明白不過(guò)的事嗎?

  你認(rèn)為這樣的回答有道理嗎?

  16世紀(jì)意大利著名科學(xué)家伽利略的看法卻與此相反,他曾提出過(guò)一個(gè)著名的悖論,叫做“伽利略悖論”,悖論的內(nèi)容是:“整數(shù)和偶數(shù)一樣多”。這似乎違背常識(shí)。

  不過(guò),伽利略所說(shuō)的,也絕不是沒(méi)有道理。首先,我們論述的對(duì)象都是無(wú)窮個(gè),而不是有限個(gè),對(duì)于有限個(gè)來(lái)說(shuō),“全體大于部分”無(wú)可爭(zhēng)議。從1到10的整數(shù)比從1到10的偶數(shù)就是多。但是,把這個(gè)用到無(wú)窮上就要重新考慮了。對(duì)于有限來(lái)說(shuō),說(shuō)兩堆物體數(shù)量一樣多,只要把各堆物體數(shù)一下,看看兩堆物體的數(shù)量是否相等就可以。這個(gè)辦法對(duì)“無(wú)窮”來(lái)說(shuō)是不適用的,因?yàn)椤盁o(wú)窮”本身就包括“數(shù)不完”的意思在內(nèi)。看起來(lái),我們得另想辦法。

  據(jù)說(shuō),居住在非洲的有些部族,數(shù)數(shù)最多不超過(guò)3,但是他們卻知道自己放牧的牛羊是否有丟失。辦法是,早上開(kāi)圈放羊時(shí),讓羊一只一只往外出。每出一只羊,牧羊人就拾一塊小石頭。顯然,羊的個(gè)數(shù)和小石頭的個(gè)數(shù)一樣多。傍晚,放牧歸來(lái),每進(jìn)圈一只羊,牧羊人從小石頭堆中仍掉一塊石頭。如果羊全部進(jìn)了圈,而小石頭一個(gè)沒(méi)剩,說(shuō)明羊一只也沒(méi)丟。非洲牧羊人實(shí)際上采取了“一對(duì)一”的辦法,兩堆物體只要能建立起這種一對(duì)一的關(guān)系,就可以說(shuō)明兩堆物體的'數(shù)量一樣多。

  這種辦法同樣可以用在無(wú)窮上,看看要比較的兩部分之間能否建立起這種一對(duì)一的關(guān)系。伽利略在整數(shù)與偶數(shù)之間建立的對(duì)應(yīng)關(guān)系是:

  01234…

  ↓↓↓↓↓

  246810…

  按這樣的一種關(guān)系,給出一個(gè)整數(shù),就可以找出一個(gè)偶數(shù)與之對(duì)應(yīng),給出的整數(shù)不同,與之相對(duì)應(yīng)的偶數(shù)也不同;反過(guò)來(lái),對(duì)于每一個(gè)偶數(shù),都可以找到一個(gè)自然數(shù)與之對(duì)應(yīng),偶數(shù)不同,所對(duì)應(yīng)的整數(shù)也不同,由此我們稱整數(shù)與偶數(shù)之間建立了一對(duì)一的關(guān)系,所以我們說(shuō):“整數(shù)與偶數(shù)一樣多”是正確的。

  這告訴我們,“無(wú)窮”是不能用“有限”中的法則來(lái)衡量的,許多對(duì)“有限”成立的性質(zhì),對(duì)“無(wú)窮”卻未必成立。

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