討論中國(guó)奧數(shù)教育的癥結(jié)
作為應(yīng)試教育的極端，奧數(shù)已經(jīng)侵淫中國(guó)二十余年，同時(shí)在歐美發(fā)達(dá)國(guó)家的基礎(chǔ)教育中也影響巨大。人們對(duì)奧數(shù)教育微辭頗多，甚至于深惡痛絕，稱之為雜耍數(shù)學(xué)教育，毀滅孩子的正常理性思維。然而奧數(shù)教育卻在一片質(zhì)疑聲和斥責(zé)聲中蓬勃發(fā)展，如火如荼。當(dāng)然這種現(xiàn)象也不是數(shù)學(xué)教育中獨(dú)有，各類應(yīng)試教育都有相似格局，只是這奧數(shù)發(fā)展得比較極致，其對(duì)孩子的理性思維造成的淆亂比較嚴(yán)重，為其他應(yīng)試教育無(wú)法相比。數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)，不適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)路徑對(duì)學(xué)生造成的影響深遠(yuǎn)而嚴(yán)重。但是公允地說，奧數(shù)教育就只是坑害學(xué)生嗎？私以為并非如此，至少幫助孩子們建立了合適的學(xué)習(xí)習(xí)慣，其解題思路雖然光怪陸離，但孩子依然會(huì)從其中領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)與科學(xué)需要的是一些嚴(yán)密復(fù)雜的流程，而不是靈光一現(xiàn)就決了問題。
問題在于，對(duì)于悟性一般的孩子，專注于解題思路，而不是著重在科學(xué)概念的理解上，會(huì)造成其對(duì)科學(xué)概念與解析流程的理解紊亂，無(wú)法構(gòu)建正確的理性思維架構(gòu)。而實(shí)際中能達(dá)到從老師的怪異解題方法中悟出正確原理的孩子應(yīng)該是很稀少的。教孩子們科學(xué)知識(shí)，尤其是數(shù)學(xué)知識(shí)，目標(biāo)必須在科學(xué)的基本概念和現(xiàn)實(shí)物理意義上，而不可以局限在解決某種題目的方法上。洋洋自得于解題方法，與孩子們沉迷于電子游戲無(wú)異。這些都與孩子們理解自然事理和實(shí)際應(yīng)用沒有太大關(guān)系，反而會(huì)成為大多數(shù)孩子心中的障礙。奧數(shù)的癥結(jié)在于其專注在解決各類數(shù)學(xué)考題的高效快速的方法上，而不是將解題作為一種手段幫助孩子們正確理解數(shù)學(xué)與科學(xué)的基本原理概念和正確的分析流程，有坐井觀天之虞。
下面我們以一個(gè)實(shí)際的奧數(shù)題目為例來解析一下奧數(shù)教育的癥結(jié)所在。有這樣一個(gè)奧數(shù)題目：如果274！可以被12^x整除(12^x代表12的x次冪，比如12^5=12*12*12*12*12)，那么x的最大可能整數(shù)值是多少？顯然，這個(gè)題目是考查素?cái)?shù)的概念，就是如下的原理：
一，任何一個(gè)整數(shù)都可以分解成多個(gè)素?cái)?shù)的乘積。
二，任何素?cái)?shù)只能被一和其自身整除。
三，任意多素?cái)?shù)的乘積，如果因子中不含有某個(gè)素?cái)?shù)，這個(gè)乘積也必然不可以被
這個(gè)素?cái)?shù)整除。其肯定意義上的表述為：
如果這個(gè)乘積可以被某素?cái)?shù)整除，那么其因子中必然含有這個(gè)素?cái)?shù)。條件與結(jié)論互為充要條件。直觀地說，題目的要求就是在被除數(shù)中能分解出多少個(gè)12。解決這道題，首先要看除數(shù)，因?yàn)槠涓?2是一個(gè)合數(shù)，而我們不能直接在被除數(shù)中簡(jiǎn)單地尋找12的倍數(shù)來解題，因?yàn)閮蓚�(gè)偶數(shù)和另外一個(gè)三的倍數(shù)就可以構(gòu)成一個(gè)因子12，例如14，22，和15的乘積就可以湊出一個(gè)12。那么第一步就是分解12：12=3*(2^2)第二步，尋找被除數(shù)中有多少因子3和因子2。
一般來說，尋找有合數(shù)因子的數(shù)比較麻煩，而尋找有素?cái)?shù)因子的數(shù)就很簡(jiǎn)單。274的階乘中有多少個(gè)因子3呢，首先就是１到274這些數(shù)中有多少個(gè)三的倍數(shù)，每三個(gè)數(shù)一個(gè)嗎，用274一除就行了，取整就是其中有多少個(gè)三的倍數(shù)。更細(xì)致的問題是，某些數(shù)中不止有一個(gè)因子3，比如９有兩個(gè)因子3，所有９的倍數(shù)也有兩個(gè)因子3。27有三個(gè)因子3，而27的倍數(shù)也會(huì)有三個(gè)因子3；依此類推。那么這第二步就應(yīng)該分解成多個(gè)步驟來解決：
第一，274除以3，棄尾取整得到有多少個(gè)數(shù)至少有一個(gè)因子3，得A1。
第二，274除以9，棄尾取整得到有多少個(gè)數(shù)至少有兩個(gè)因子3，得A2。
第三，274除以27，棄尾取整得到有多少個(gè)數(shù)至少有三個(gè)因子3，得A3。
依此類推，直到最后的商An小于三。最后，因子3數(shù)量如何算呢？9中有兩個(gè)因子3，是否要A1+2*A2？顯然不行，因?yàn)?作為三的倍數(shù)已經(jīng)在A1中被記過一次因子3了，所以A2所貢獻(xiàn)的因子3只能再算一個(gè)。而27呢，因?yàn)樵贏1和A2中被記過兩次，所以也只能再算一個(gè)。那么，最后因子3的數(shù)量將會(huì)是A=A1+A2+A3+...+An=135因子2的數(shù)量也依此計(jì)算出來：
B=B1+B2+B3+...+Bm=271
第三步，計(jì)算指數(shù)x的最大值。除數(shù)12^x可以化作兩個(gè)因子的冪，即(3*2^2)^x=(3^x)*(
(2^2)^x)
這里面有一個(gè)極其重要的概念，就是指數(shù)運(yùn)算的分配律。這從加法的分配律衍生出來，基本可以算作人思維的基礎(chǔ)直覺，看似簡(jiǎn)單沒意思，實(shí)則是最重要的概念。這就像建筑中的基本原料水泥一樣。(a*b)^n=(a^n)*(b^n)
通過以上運(yùn)算可以知道274！=(3^135)*(2^271)*C其中C是不含有因子2和3的某個(gè)整數(shù)。x
所必須滿足的條件是：(3^x)*((2^2)^x)=(3^135)*(2^271)
最后的條件就可以簡(jiǎn)化成：
一，x135
二，2x271
因?yàn)閮蓚�(gè)條件是與的關(guān)系，也就是說，兩個(gè)條件必須同時(shí)滿足，答案才是正確的。這里面又是一個(gè)更加重要更加基礎(chǔ)的概念，就是邏輯中的運(yùn)算因子與
或者說形式邏輯中的兩個(gè)必要條件構(gòu)成一個(gè)充分條件。這里不必要追溯到數(shù)理邏輯的同一律，排中律和矛盾律，但邏輯常識(shí)應(yīng)該借此機(jī)會(huì)講授。由此可以得出答案，x的最大值為135。
題外之話，如果改變階乘的基數(shù)274為其他數(shù)值，求其中的因子2和因子3的數(shù)量，可以發(fā)現(xiàn)因子2的數(shù)量總大約是因子3數(shù)量的兩倍。有興趣的人可以邏輯上
推演一下，最后的結(jié)論就是比較這樣兩個(gè)數(shù)的關(guān)系1/2+1/4+...+2^(-m)1/3+1/9+...+3^(-n)
如這里的274。當(dāng)m，n趨近于無(wú)窮大時(shí)，M=１，N=1/2。一般來說，n必然要小于m，因?yàn)檫@是遞減的等比數(shù)列，頭幾個(gè)數(shù)值基本決定了M和N的大致值，所以M總是N的兩倍多一點(diǎn)。
我們?cè)賮砜磰W數(shù)班的講解方式。
當(dāng)然，解題思路不會(huì)有什么變化，只是其中細(xì)節(jié)可以找點(diǎn)巧處。如果有哪位奧數(shù)老師會(huì)強(qiáng)調(diào)講解以上所提到的幾大基礎(chǔ)概念與原理，那就是學(xué)生們的福氣了。但我極其懷疑在當(dāng)代奧數(shù)教育中一百個(gè)老師里會(huì)不會(huì)找到一個(gè)老師這么講，因?yàn)檫@種講解方式與奧數(shù)教育目標(biāo)是完全相反的。
兒子從奧數(shù)課上回來，這道題讓他做得簡(jiǎn)潔得難以接受。整個(gè)解題過程就剩下這
樣幾步（以下等式為取整運(yùn)算。）：274/3=9191/3=3030/3=1010/3=33/3=191+30+10+3+1=135274/2=137137/2=6868/2=3434/2=1717/2=88/2=44/2=22/2=1137+68+34+17+8+4+2+1=271135271，所以最終答案是x的最大值是135
我相信老師在講解此類題目時(shí)已經(jīng)完整地講解了具體思路，但是學(xué)生所記住的只有針對(duì)于此類題目的這種解題過程與公式應(yīng)用，每步是什么意思完全不理解。最明顯的，不用274/9計(jì)算A2，而是用91/3計(jì)算A2，導(dǎo)致其數(shù)學(xué)過程更難以理解，與真正的物理意義隔閡更大。當(dāng)然這樣算提高了速度，卻為學(xué)生的正確理解增加了一堵墻。這就像教孩子如何建房子。學(xué)習(xí)過程中總要找一些簡(jiǎn)單的建筑來教授，比如雞舍鴨房之類，但目標(biāo)卻是高樓大廈。所以我們應(yīng)該提供給孩子們磚塊，水泥和鋼筋等基礎(chǔ)建筑材料，再教給孩子們正確的建筑流程，其中過程可能十分復(fù)雜繁瑣。某些人嘩眾取寵，爭(zhēng)奪教育資源，顯示自己教學(xué)方法何等高效，于是就將普通的建筑材料預(yù)制成幾塊合成板料，可以讓孩子快速學(xué)會(huì)搭建雞舍，面對(duì)考試時(shí)能比其他人快速準(zhǔn)確地搭建起來。
當(dāng)孩子們長(zhǎng)大了，需要建高樓大廈了，他們需要的是磚頭，水泥和鋼筋，但這些材料都被老師做成建雞舍的預(yù)制板料存儲(chǔ)在孩子的倉(cāng)庫(kù)里了，他們?nèi)绾谓ǖ昧烁邩谴髲B呢？這些預(yù)制板料與垃圾又有何異？其中有某些原理是必須講解明白的，我相信老師都提到了，但絕沒有強(qiáng)調(diào)，強(qiáng)調(diào)的只是這取巧提高解題速度的雞舍預(yù)制板。比如其中的邏輯與問題，必須花大力氣講解透才行，這是現(xiàn)實(shí)生活，科學(xué)原理以及解題的絕對(duì)基礎(chǔ)，最有用的東西。老師怎么講的不知道，但這學(xué)生解題時(shí)一點(diǎn)兒這方面的考慮都沒有，直接用135271就得出結(jié)了。這里有一個(gè)巧合就是題目要求的是12，也就是因子2的數(shù)量恰為因子3的兩倍，而被除數(shù)中恰好因子2的數(shù)量大于因子3的數(shù)量的兩倍。解題時(shí)根本用不著走邏輯與這個(gè)過程。于是我問他，如果將題中的12換成24，那答案是多少。回答是135。當(dāng)然，正確回答應(yīng)該是
271/3=90135，答案是90。原因是24中有三個(gè)因子2。顯然，其解題思路中就沒有正確細(xì)致的`邏輯與這一步。教學(xué)過程中，這關(guān)鍵有用的一步不過是走個(gè)過場(chǎng)而已。
還需要強(qiáng)調(diào)一下，如今這奧數(shù)教育在數(shù)論領(lǐng)域的份量極大，與數(shù)論本身在科學(xué)應(yīng)用中的比重有天壤之別。因?yàn)檫@個(gè)領(lǐng)域可以很容易地編出無(wú)窮無(wú)盡的繞人題目來，而且學(xué)生的父母一看就暈菜，也再不敢有什么質(zhì)疑。而數(shù)論知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用十分有限，除非大家一起玩通信編碼解碼，那就是全民吃錯(cuò)藥了。諸位兄弟姐妹，為了防止具有數(shù)理天賦的孩子們長(zhǎng)大后只會(huì)搭雞舍而不會(huì)蓋房子，請(qǐng)關(guān)切一下孩子們的奧數(shù)教育內(nèi)容，及時(shí)補(bǔ)充強(qiáng)調(diào)數(shù)理學(xué)習(xí)中最本質(zhì)最有價(jià)值的那些基礎(chǔ)原理。不能讓他們只認(rèn)識(shí)搭雞舍的預(yù)制板，縱然不能教他們從和泥脫坯開始，也要讓他們知道磚塊水泥的用法，讓他們學(xué)習(xí)一個(gè)正確完整的建筑流程。奧數(shù)教育的蓬勃發(fā)展影射出一種巨大的社會(huì)力量，就是人們對(duì)基礎(chǔ)教育中理性思辯的迫切需求，而且這種需求被各國(guó)的基礎(chǔ)教育忽視了。這種需求是否合理，與人的理性成長(zhǎng)過程是相契合的還是相悖逆的，難以簡(jiǎn)單地下定論，需學(xué)術(shù)界給出充足證據(jù)才可以。但兩個(gè)方面是比較確信的，奧數(shù)教育對(duì)培養(yǎng)孩子的學(xué)習(xí)習(xí)慣有比較好的效果，理應(yīng)肯定；同時(shí)，以解題為目標(biāo)的教學(xué)，尤其在理性思辯的科目上，完全是喧賓奪主的教育，就像人的飯桌上醬油醋成了主食，米飯饅頭變成配菜，其對(duì)人健康的危害就可想而知了。所以，不能說奧數(shù)教育徹底負(fù)面，但為滿足社會(huì)的巨大需求，啟動(dòng)一些正確的理性思辯教育是必須的，以此取代局限于應(yīng)試的奧數(shù)教育。
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