如何用逆向思維解答數(shù)學問題

　　一、數(shù)學概念的反問題

　　例1 若化簡|1-x|—|x-4|的結果為2x-5，求x的取值范圍。

　　分析：原式=|1-x|-|x-4|

　　根據(jù)題意，要化成：x-1-（4-x）=2x-5

　　從絕對值概念的反方向考慮，推出其條件是：

　　1-x≤0，且x-4≤0

　　∴x的取值范圍是：1≤x≤4

　　二、代數(shù)運算的逆過程

　　例2 有四個有理數(shù)：3，4-6，10，將這四個數(shù)進行加減乘除四則運算（每個數(shù)用且只用一次），使結果為24.請寫出一個符合要求的算式。

　　分析：不妨先設想3×8=24，再考慮怎樣從4，-6，10算出8，這樣就找到一個所求的算式：

　　3×（4-6 10）=24

　　類似的，還有：4-（-6×10）÷3；

　　10-（-6×3 4）；3（10-4）-（-6）等。

　　三、逆向應用不等式性質

　　例3 若關于x的不等式（a-1）x＞a2-2的解集為x＜2，求a的值。

　　分析：根據(jù)不等式性質3，從反方向進行分析，得：

　　a-1＜0，且a2-2=2（a-1）

　　∴所求a值為a=0.

　　四、逆向分析分式方程的.檢驗

　　例4 已知方程m（x 1）/（1-x2）=1有增根，求它的增根。

　　分析：這個分式方程的增根可能是x=1或x=-1

　　原方程去分母并整理，得x2 mx m-1=0

　　如果把x=1代入，能求出m=3；

　　如果把x=-1代入，則不能求出m；

　　∴m的值為3，原方程的增根是x=1.

　　五、圖形變換的反問題

　　例5 △ABC中，AB＜AC，一刀剪切后可以拼成等腰梯形，請確定剪切線。

　　分析：我們曾經(jīng)把梯形剪切后拼成三角形，就是使梯形的一部分繞一條腰的中點旋轉180°，本題正好相反。由此得到啟發(fā)，再應用等腰梯形的性質，得到如下做法：

　　作AD⊥BC，垂足為D點，在BC上截取DE=BD，連結AE，則∠AEB=∠B.

　　過AC中點M作MP∥AE，交BC于P，MD就是所求的剪切線。剪下△MPC，可以拼成等腰梯形ABPQ.

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