考研數(shù)學(xué)極限的運(yùn)算方法及適用情況

　　在數(shù)學(xué)考察中，極限的計(jì)算占據(jù)很大一部分，所以考生必須熟練掌握。小編為大家精心準(zhǔn)備了考研數(shù)學(xué)極限的運(yùn)算秘訣和適用情況，歡迎大家前來(lái)閱讀。

　　 考研數(shù)學(xué)極限的運(yùn)算技巧及使用情況

　　基礎(chǔ)階段，我們的目標(biāo)是三基本：基本概念、基本定理、基本方法，因此在基礎(chǔ)階段學(xué)習(xí)極限應(yīng)從兩個(gè)方面著手，一是極限的定義，二是極限的運(yùn)算。極限的定義在考試大綱中明確要求是理解，理解的意思并不是會(huì)背誦定義內(nèi)容，而是能夠領(lǐng)會(huì)定義內(nèi)容背后的所蘊(yùn)含的含義，正確理解所代表的任意小以及代表的距離。

　　除定義本身以外，極限的趨近狀態(tài)也要注意區(qū)分，對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō)有六種趨近狀態(tài)：各自的含義要非常清楚，而數(shù)列只有一種趨近狀態(tài)，雖然沒(méi)有指明，但是數(shù)列里邊的隱含之意為。

　　極限的計(jì)算則需要首先掌握考研數(shù)學(xué)要考到的七種基本方法，知道七種方法適用的情況。

　　第一種是四則運(yùn)算，此方法大家最為熟悉，但比較容易出錯(cuò)，需要注意使用四則運(yùn)算的前提是進(jìn)行運(yùn)算的函數(shù)極限必須都是存在的；

　　第二種是等價(jià)無(wú)窮小替換，這一方法比較受歡迎，而且很多極限計(jì)算的問(wèn)題只需經(jīng)過(guò)等價(jià)無(wú)窮小代換就能得出結(jié)果，不需再使用其他方法，需要注意的是等價(jià)無(wú)窮小代換前提必須首先是無(wú)窮小才可代換，另外只能在乘積因子內(nèi)代換(有些是可以在加減因子中代換的，但是在沒(méi)有十足把握的情況下應(yīng)避免使用在加減因子中代換)；

　　第三種是洛必達(dá)法則，適用于及 型未定式，在使用的過(guò)程中需要注意一下幾點(diǎn)：

　　1、洛必達(dá)法則必須結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小使用；

　　2、使用一次整理一次；

　　3、其他類型未定式需要轉(zhuǎn)化成 及 型才可以使用洛必達(dá)法則等；

　　第四種是泰勒展式，這是解決極限問(wèn)題的利器，在基礎(chǔ)階段不必要求掌握如何使用，只需了解泰勒展式的內(nèi)容即可，具體使用原則會(huì)在強(qiáng)化階段給出；

　　第五種是夾逼定理，主要用于解決含有不等式關(guān)系的極限問(wèn)題，特別應(yīng)用于 個(gè)分式之和的數(shù)列極限問(wèn)題，通過(guò)放縮分母來(lái)達(dá)到出現(xiàn)不等關(guān)系的目的；

　　第六種是定積分的定義，與夾逼定理相區(qū)別，夾逼定理解決的問(wèn)題放縮分母后分子可用一個(gè)式子去表示，而定積分的定義可解決夾逼定理不能解決的問(wèn)題，通過(guò)主要的三步：1、提取，2、湊出，3、極限符號(hào)及連加符號(hào)改寫(xiě)為，改寫(xiě)為，改寫(xiě)為計(jì)算定積分即可解決個(gè)分式之和的數(shù)列極限問(wèn)題；

　　第七種方法是適用于數(shù)列極限的單調(diào)有界性定理，難點(diǎn)在于如何確定證明方向，一般單調(diào)有界性定理適用于由遞推公式給出的數(shù)列極限問(wèn)題，因此可采取數(shù)學(xué)歸納法證明有界性，做差的辦法證明單調(diào)性。

　　以上，從大的框架結(jié)構(gòu)上給出了極限一章極限定義和極限計(jì)算的常用方法，希望同學(xué)們對(duì)這一章有一個(gè)宏觀的把握，但是具體的細(xì)節(jié)掌握還要待進(jìn)一步細(xì)致的學(xué)習(xí)。在復(fù)習(xí)的過(guò)程中要多留心多總結(jié)把重要的方法記錄下來(lái)，錯(cuò)題記錄下來(lái)方便后續(xù)的自我檢查。

　　 考研數(shù)學(xué)做題技巧

　　 1.思考著去做題，去總結(jié)

　　很多學(xué)生都有這樣的困惑，做了很多題但不會(huì)的題還是很多，最可氣的就是很多題明明做過(guò)，但是再遇到還是不會(huì)做！這就是很多同學(xué)存在的通病，不求甚解�？傄詾椴粫�(huì)做了，看看答案就會(huì)了，并不會(huì)認(rèn)真的思考為什么不會(huì)，解題技巧是什么，和它同類型的題我能不能會(huì)做等等。其實(shí)，這些都是很重要的，提醒大家要學(xué)著思考，學(xué)著"記憶"，最重要是要會(huì)舉一反三，這樣，我們才能脫離題海的浮沉，能夠做到有效做題，高效提升！

　　 2.側(cè)重基礎(chǔ)，培養(yǎng)逆向思維

　　很多時(shí)候，備考者會(huì)陷入盲目的題海中，這也是很多考生對(duì)數(shù)學(xué)感到頭痛的原因所在。其實(shí)在前期復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，就應(yīng)該把定義、定理的推導(dǎo)作為一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，重視推導(dǎo)和例題中的方法與技巧，認(rèn)真分析這些方法，將它們套用到相應(yīng)的練習(xí)題中，比做大量的重復(fù)練習(xí)要高效得多。

　　同時(shí)，思維習(xí)慣大大影響著學(xué)習(xí)效果。當(dāng)進(jìn)入考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考的時(shí)候，大多數(shù)人繼承了以往學(xué)習(xí)的習(xí)慣，思維也基本上定型了，也就是進(jìn)入了定勢(shì)思維。習(xí)慣性思考方式在一方面有優(yōu)勢(shì)，另一方面也制約著學(xué)習(xí)成績(jī)的提高，我們現(xiàn)在要做的就是打破慣性思維！

　　 3.做題有始有終，提高計(jì)算能力

　　數(shù)學(xué)不等于做題，但是不可避免的是學(xué)好數(shù)學(xué)一定要做題，那么如何做題?我們說(shuō)基礎(chǔ)的扎實(shí)鞏固是根本，再這個(gè)基礎(chǔ)上進(jìn)行做題。同時(shí)，提醒大家的是復(fù)習(xí)一定要養(yǎng)成一個(gè)好的習(xí)慣，拿到的數(shù)學(xué)題一定要有始有終把它算出來(lái)，這是一種計(jì)算能力的訓(xùn)練，尤其是計(jì)算量大的時(shí)候，如果沒(méi)有平常這樣一個(gè)訓(xùn)練，在實(shí)際考試的時(shí)候在短時(shí)間內(nèi)是很難心有余力也足的。

　　 4.深入思考，善于總結(jié)

　　考試?yán)锊粌H僅是考察我們基本概念、基本理論、基本方法的問(wèn)題，還涉及到我們靈活運(yùn)用知識(shí)的能力問(wèn)題，所以僅僅是依靠教材很難把它這種考試命題的特點(diǎn)歸納總結(jié)出來(lái)，因此要了解考試，歷年考試的真題作為準(zhǔn)備去參加研究生考試的同學(xué)是必備的。

　　大家選真題的時(shí)候應(yīng)該考慮到能不能通過(guò)真題的分析幫助我們真正的歸納總結(jié)這樣一些題型出來(lái)，針對(duì)每一個(gè)問(wèn)題我們應(yīng)該如何去分析和討論在分析討論過(guò)程中間，有沒(méi)有一些可能的變化情況，這些變化情況到現(xiàn)在為止，考到了哪一些，那一些就是我們下一步復(fù)習(xí)應(yīng)該注意的，這樣每一部分你都能夠這樣去歸納、總結(jié)或通過(guò)這種相關(guān)的輔導(dǎo)書(shū)幫助你歸納總結(jié)出來(lái)了，復(fù)習(xí)就更有針對(duì)性。

　　 5.揣摩真題，把握方向

　　真題的作用是不容忽視的，經(jīng)過(guò)十幾年的考試，相當(dāng)多的題目模式已經(jīng)定了下來(lái)，很多考研題目都是類似的。考研真題經(jīng)過(guò)千錘百煉，在思想性上有較高的參考價(jià)值，需要多加揣摩。尤其是近兩年的考題，反映了命題者出題的方式和思路，更要注意。所以，同學(xué)們一定要把真題重視起來(lái)！

　　 考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)的復(fù)習(xí)指導(dǎo)

　　向量與線性方程組是整個(gè)線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問(wèn)題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)，而其后兩章特征值和特征向量、二次型的內(nèi)容則相對(duì)獨(dú)立，可以看作是對(duì)核心內(nèi)容的擴(kuò)展。復(fù)習(xí)這兩部分內(nèi)容最有效的方法就是徹底理順諸多知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因?yàn)檫@樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時(shí)也是熟練掌握和靈活運(yùn)用的前提。

　　這部分的重要考點(diǎn)一是線性方程組所具有的兩種形式——矩陣形式和向量形式；二是線性方程組與向量以及其它章節(jié)的各種內(nèi)在聯(lián)系。

　　(1)齊次線性方程組與向量線性相關(guān)、無(wú)關(guān)的聯(lián)系 齊次線性方程組可以直接看出一定有解，因?yàn)楫?dāng)變量都為零時(shí)等式一定成立——印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線性表示”。

　　齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：

　�、儆形ㄒ涣憬猓�

　�、谟蟹橇憬�。

　　當(dāng)齊次線性方程組有唯一零解時(shí)，是指等式中的變量只能全為零才能使等式成立，而當(dāng)齊次線性方程組有非零解時(shí)，存在不全為零的變量使上式成立；但向量部分中判斷向量組是否線性相關(guān)、無(wú)關(guān)的定義也正是由這個(gè)等式出發(fā)的。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系——齊次線性方程組是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性相關(guān)。可以設(shè)想線性相關(guān)、無(wú)關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問(wèn)題而提出的。

　　(2)齊次線性方程組的解與秩和極大無(wú)關(guān)組的聯(lián)系同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)”。經(jīng)過(guò) “秩→線性相關(guān)、無(wú)關(guān)→線性方程組解的判定”的邏輯鏈條，就可以判定列向量組線性相關(guān)時(shí)，齊次線性方程組有非零解，且齊次線性方程組的解向量可以通過(guò)r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量(基礎(chǔ)解系)線性表示。

　　(3)非齊次線性方程組與線性表出的聯(lián)系 非齊次線性方程組是否有解對(duì)應(yīng)于向量是否可由列向量組線性表示，使等式成立的一組數(shù)就是非齊次線性方程組的解。

　　考研數(shù)學(xué)高分攻略

　　夯實(shí)基礎(chǔ)

　　要具備牢固扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)。數(shù)學(xué)，最需要強(qiáng)調(diào)的是基礎(chǔ)。很多同學(xué)不重視基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)，反而只是忙著做題，做難題，就想通過(guò)題海戰(zhàn)術(shù)取勝，這是不行的，就像是不會(huì)走路的孩子總想直接跑步一樣。當(dāng)然，這里并不是說(shuō)不用多做題，做題量也是要保證的，這點(diǎn)在下面會(huì)說(shuō)到。

　　分析一下數(shù)學(xué)試卷就會(huì)發(fā)現(xiàn)，80%的題目都是基礎(chǔ)題目，真正需要冥思苦想的偏題、難題只是少數(shù)�；貞浺幌履阕鲱}時(shí)，題目中涉及到的知識(shí)點(diǎn)是否清楚的了解了？要用到的公式、定理是否提筆就能寫(xiě)出來(lái)？這一點(diǎn)做不到，怎么能進(jìn)入下一步尋找解題方法并寫(xiě)出完整的解題過(guò)程呢？事實(shí)上，大部分同學(xué)的回答是還需要去翻書(shū)查找，要知道，考場(chǎng)上是沒(méi)有課本的。所以，一定要先打好扎實(shí)的基礎(chǔ)，再進(jìn)行解題能力和解題速度的訓(xùn)練。

　　具體來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的掌握，可以通過(guò)以下方法：

　　（1）把數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書(shū)上總結(jié)好的知識(shí)點(diǎn)認(rèn)真掌握住。一般不同版本的復(fù)習(xí)全書(shū)上的知識(shí)點(diǎn)講解都很全面、詳細(xì)，還有例題講解當(dāng)中總結(jié)出的解題技巧和方法，推導(dǎo)出的公式、定理，都要重點(diǎn)記憶。

　�。�2）數(shù)學(xué)也要做筆記。由于復(fù)習(xí)全書(shū)上的知識(shí)點(diǎn)過(guò)于詳細(xì)，在以后的第二、三輪復(fù)習(xí)中，就沒(méi)有時(shí)間去系統(tǒng)的看了，而且可能其中大部分你已經(jīng)掌握了。這就需要你把其中精華的地方和自己掌握的不好的地方以及考試的�？贾�識(shí)點(diǎn)總結(jié)在一個(gè)本子上，這樣再?gòu)?fù)習(xí)的時(shí)候就可以直接看這個(gè)本子，會(huì)節(jié)省下很多時(shí)間，提高效率。而且復(fù)習(xí)間歇，可以隨時(shí)拿出來(lái)記一記、背一背。

　�。�3）這些基礎(chǔ)知識(shí)如果一段時(shí)間不看就會(huì)有些生疏，用的時(shí)候拿不準(zhǔn)。所以，要每天都攜帶在身上，就像英語(yǔ)單詞小冊(cè)子一樣，要經(jīng)常溫習(xí)。

　　勤于思考

　　要勤于思考，多動(dòng)腦。很多同學(xué)學(xué)數(shù)學(xué)就喜歡看例題，看別人做好的題目，分析別人總結(jié)好的解題方法、步驟。只這樣是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。只是一味的被動(dòng)的接受別人的東西，就永遠(yuǎn)也變不成自己的東西。

　　第一遍復(fù)習(xí)可以只看題，但以后就必須自己試著做了，先不看答案，完全通過(guò)自己的能力做著試試，不管能做到什么程度，起碼你自己先思考了，只有啟動(dòng)自己的大腦，才會(huì)使知識(shí)更深入的得到理解和掌握，才能真正成為自己的知識(shí)，也才會(huì)具有獨(dú)立的解題能力。

　　在做題時(shí)不要太輕易的選擇放棄，想一會(huì)兒沒(méi)有思路就去看答案，一定要仔細(xì)開(kāi)動(dòng)腦筋想過(guò)之后，實(shí)在不行再求助于外力。我在學(xué)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，很少去問(wèn)別人這道題該怎么做，就想通過(guò)自己的思考解決，不輕易認(rèn)輸，希望大家也不要省略掉這一認(rèn)真思考過(guò)程，要勇于挑戰(zhàn)自己，不要輕易投降。

　　歸納總結(jié)

　　學(xué)會(huì)總結(jié)，善于歸納，使知識(shí)系統(tǒng)化。善于總結(jié)也是我要十分強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)。因?yàn)楹芏嗤瑢W(xué)做題的過(guò)程就到對(duì)過(guò)答案或是糾正過(guò)錯(cuò)誤就結(jié)束了，一套題的價(jià)值也就到此為止了。我建議大家在糾正完錯(cuò)誤之后，再把這套試題從頭看一遍，總結(jié)一下自己都在哪些方面出錯(cuò)了，原因是什么，這套題中有沒(méi)有出現(xiàn)我不知道的新的方法、思路，新推導(dǎo)出的定理、公式等，并把這些有用的知識(shí)全都寫(xiě)到你的筆記本上，以便隨時(shí)查看和重點(diǎn)記憶。

　　對(duì)于大題的解題方法，要仔細(xì)想一想，都涉及到哪些科目和章節(jié)了，這些知識(shí)點(diǎn)之間有哪些聯(lián)系等，從而使自己所掌握的知識(shí)系統(tǒng)化，以達(dá)到融會(huì)貫通。只有這樣，才能使你做過(guò)的題目實(shí)現(xiàn)其最大的價(jià)值，也才算是你真正做懂了一套題。如果你能夠這樣做了，那么做過(guò)的題在以后的復(fù)習(xí)中如果沒(méi)有時(shí)間了，就不用再拿出來(lái)重新看了，因?yàn)槟阋呀?jīng)把要掌握的精華總結(jié)好了，只需看你的筆記本就OK了。

　　避免粗心

　　養(yǎng)成做題仔細(xì)、謹(jǐn)慎的習(xí)慣。粗心大意也是許多同學(xué)的一大難題。你想，題目明明會(huì)做，可答案偏偏不對(duì)，大題還好些，還能給你一些步驟分，小題就慘了，是一分不得的。所以，這一點(diǎn)也要引起高度的重視。

　　一般來(lái)說(shuō)有這個(gè)問(wèn)題的同學(xué)有一個(gè)共性，就是在草稿紙上演算時(shí)，比較潦草，紙上經(jīng)常是亂七八糟，想回過(guò)頭查找一下某道題的計(jì)算過(guò)程，是很難的一件事。還有就是演算的時(shí)候不認(rèn)真。幫幫建議大家在使用草稿紙的時(shí)候，把紙利用的整齊一些，寫(xiě)的也規(guī)整一些，書(shū)寫(xiě)認(rèn)真一些，慢慢就能減少錯(cuò)誤率了。

　　適度練習(xí)

　　保證做題量，還要有一定的普及性�？梢哉f(shuō)，題海戰(zhàn)術(shù)在一定意義上還是很有道理和必要性的。對(duì)于數(shù)學(xué)考試來(lái)說(shuō)，就是解題，理論再好也要應(yīng)用于實(shí)踐，要運(yùn)用自如。因此，在打好基本功以后，就要開(kāi)始不斷的做題了。

　　首先，題目的選擇上，要廣泛一些，各個(gè)名師的模擬題、復(fù)習(xí)題等都涉及一些。這是因?yàn)�，每個(gè)人的出題思路是一定的，重點(diǎn)偏向及難易程度也差不多，做不同人編的題，有助于題型的廣泛攝取和把握，只有題型見(jiàn)得多了，思路才能拓展開(kāi)，而且各種難度的題目也都嘗試過(guò)了，見(jiàn)到考試卷時(shí)才不會(huì)有太多措手不及的感覺(jué)，這就是我說(shuō)的普及性。

　　其次，做題的數(shù)量上，在你的能力范圍內(nèi)大量練習(xí)，但不必太多，尤其是到了最后沖刺階段，主要精力應(yīng)放在政治和專業(yè)課上面的時(shí)候，也就沒(méi)有那么多時(shí)間去做數(shù)學(xué)題了。但也一定不要就把數(shù)學(xué)放鴿子了，因?yàn)閿?shù)學(xué)不做就會(huì)手生，找不到感覺(jué)，所以，要給自己安排好一個(gè)做題計(jì)劃，比如說(shuō)兩天一套題或三天一套題，根據(jù)自己其他科目的復(fù)習(xí)情況以及此門(mén)課程的復(fù)習(xí)情況來(lái)定。

　　最后，留一兩套題在考前作為熱身訓(xùn)練，不過(guò)不用在意那時(shí)做題打出的成績(jī)，因?yàn)榫鸵�上考�?chǎng)了，好壞都沒(méi)有多大的意義了，關(guān)鍵是用它來(lái)找找做題的感覺(jué)。

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