考研數學沖刺掌握解題的思路
考生在考研數學沖刺階段的時候，需要掌握好解題的思路。小編為大家精心準備了考研數學沖刺掌握解題的思路指南，歡迎大家前來閱讀。
考研數學沖刺掌握解題的21個固定思路
第一部分 《高數解題的四種思維定勢》
1.在題設條件中給出一個函數f(x)二階和二階以上可導，"不管三七二十一"，把f(x)在指定點展成泰勒公式再說。
2.在題設條件或欲證結論中有定積分表達式時，則"不管三七二十一"先用積分中值定理對該積分式處理一下再說。
3.在題設條件中函數f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內可導，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，則"不管三七二十一"先用拉格朗日中值定理處理一下再說。
4.對定限或變限積分，若被積函數或其主要部分為復合函數，則"不管三七二十一"先做變量替換使之成為簡單形式f(u)再說。
第二部分 《線性代數解題的八種思維定勢》
1.題設條件與代數余子式Aij或A*有關，則立即聯(lián)想到用行列式按行(列)展開定理以及AA*=A*A=|A|E。
2.若涉及到A、B是否可交換，即AB=BA，則立即聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析。
3.若題設n階方陣A滿足f(A)=0，要證aA+bE可逆，則先分解出因子aA+bE再說。
4.若要證明一組向量a1，a2，...，as線性無關，先考慮用定義再說。
5.若已知AB=0，則將B的每列作為Ax=0的解來處理再說。
6.若由題設條件要求確定參數的取值，聯(lián)想到是否有某行列式為零再說。
7.若已知A的特征向量ζ0，則先用定義Aζ0=λ0ζ0處理一下再說。
8.若要證明抽象n階實對稱矩陣A為正定矩陣，則用定義處理一下再說。
第三部分《概率與數理統(tǒng)計解題的九種思維定勢》
1.如果要求的是若干事件中"至少"有一個發(fā)生的概率，則馬上聯(lián)想到概率加法公式;當事件組相互獨立時，用對立事件的概率公式。
2.若給出的試驗可分解成(0-1)的n重獨立重復試驗，則馬上聯(lián)想到Bernoulli試驗，及其概率計算公式。
3.若某事件是伴隨著一個完備事件組的發(fā)生而發(fā)生，則馬上聯(lián)想到該事件的發(fā)生概率是用全概率公式計算。關鍵：尋找完備事件組。
4.若題設中給出隨機變量X ~ N 則馬上聯(lián)想到標準化X ~ N(0，1)來處理有關問題。
5.求二維隨機變量(X，Y)的邊緣分布密度的問題，應該馬上聯(lián)想到先畫出使聯(lián)合分布密度的區(qū)域，然后定出X的變化區(qū)間，再在該區(qū)間內畫一條//y軸的直線，先與區(qū)域邊界相交的為y的下限，后者為上限，而Y的求法類似。
6.欲求二維隨機變量(X，Y)滿足條件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，應該馬上聯(lián)想到二重積分的計算，其積分域D是由聯(lián)合密度的平面區(qū)域及滿足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的區(qū)域的公共部分。
7.涉及n次試驗某事件發(fā)生的次數X的數字特征的問題，馬上要聯(lián)想到對X作(0-1)分解。
8.凡求解各概率分布已知的若干個獨立隨機變量組成的系統(tǒng)滿足某種關系的概率(或已知概率求隨機變量個數)的問題，馬上聯(lián)想到用中心極限定理處理。
9.若為總體X的一組簡單隨機樣本，則凡是涉及到統(tǒng)計量的分布問題，一般聯(lián)想到用分布，t分布和F分布的定義進行討論。
考研高等數學九個重要定理證明
高數定理證明之微分中值定理:
這一部分內容比較豐富，包括費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會證。
費馬引理的條件有兩個：1.f'(x0)存在2.f(x0)為f(x)的極值，結論為f'(x0)=0�？紤]函數在一點的導數，用什么方法?自然想到導數定義。我們可以按照導數定義寫出f'(x0)的極限形式。往下如何推理?關鍵要看第二個條件怎么用。“f(x0)為f(x)的極值”翻譯成數學語言即f(x)-f(x0)<0(或>0)，對x0的某去心鄰域成立。結合導數定義式中函數部分表達式，不難想到考慮函數部分的正負號。若能得出函數部分的符號，如何得到極限值的符號呢?極限的保號性是個橋梁。
費馬引理中的“引理”包含著引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個考頻最高的，那羅爾定理當之無愧。該定理的條件和結論想必各位都比較熟悉。條件有三：“閉區(qū)間連續(xù)”、“開區(qū)間可導”和“端值相等”，結論是在開區(qū)間存在一點(即所謂的中值)，使得函數在該點的導數為0。
該定理的證明不好理解，需認真體會：條件怎么用?如何和結論建立聯(lián)系?當然，我們現(xiàn)在討論該定理的證明是“馬后炮”式的：已經有了證明過程，我們看看怎么去理解掌握。如果在羅爾生活的時代，證出該定理，那可是十足的創(chuàng)新，是要流芳百世的。
閑言少敘，言歸正傳。既然我們討論費馬引理的作用是要引出羅爾定理，那么羅爾定理的證明過程中就要用到費馬引理。我們對比這兩個定理的結論，不難發(fā)現(xiàn)是一致的：都是函數在一點的導數為0。話說到這，可能有同學要說：羅爾定理的證明并不難呀，由費馬引理得結論不就行了。大方向對，但過程沒這么簡單。起碼要說清一點：費馬引理的條件是否滿足，為什么滿足?
前面提過費馬引理的條件有兩個——“可導”和“取極值”，“可導”不難判斷是成立的，那么“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那么我們看看哪個條件可能和極值產生聯(lián)系。注意到羅爾定理的第一個條件是函數在閉區(qū)間上連續(xù)。我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數有很好的性質，哪條性質和極值有聯(lián)系呢?不難想到最值定理。
那么最值和極值是什么關系?這個點需要想清楚，因為直接影響下面推理的走向。結論是：若最值取在區(qū)間內部，則最值為極值;若最值均取在區(qū)間端點，則最值不為極值。那么接下來，分兩種情況討論即可：若最值取在區(qū)間內部，此種情況下費馬引理條件完全成立，不難得出結論;若最值均取在區(qū)間端點，注意到已知條件第三條告訴我們端點函數值相等，由此推出函數在整個閉區(qū)間上的最大值和最小值相等，這意味著函數在整個區(qū)間的表達式恒為常數，那在開區(qū)間上任取一點都能使結論成立。
拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌握這兩個定理的證明有一箭雙雕的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個的定理的證明過程中體現(xiàn)出來的基本思路，適用于證其它結論。
以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們對比一下兩個定理的結論。羅爾定理的結論等號右側為零。我們可以考慮在草稿紙上對拉格朗日定理的結論作變形，變成羅爾定理結論的形式，移項即可。接下來，要從變形后的式子讀出是對哪個函數用羅爾定理的結果。這就是構造輔助函數的過程——看等號左側的式子是哪個函數求導后，把x換成中值的結果。這個過程有點像犯罪現(xiàn)場調查：根據這個犯罪現(xiàn)場，反推嫌疑人是誰。當然，構造輔助函數遠比破案要簡單，簡單的題目直接觀察;復雜一些的，可以把中值換成x，再對得到的函數求不定積分。
高數定理證明之求導公式:
2015年真題考了一個證明題：證明兩個函數乘積的導數公式。幾乎每位同學都對這個公式怎么用比較熟悉，而對它怎么來的較為陌生。實際上，從授課的角度，這種在2015年前從未考過的基本公式的證明，一般只會在基礎階段講到。如果這個階段的考生帶著急功近利的心態(tài)只關注結論怎么用，而不關心結論怎么來的，那很可能從未認真思考過該公式的證明過程，進而在考場上變得很被動。這里給2017考研學子提個醒：要重視基礎階段的復習，那些真題中未考過的重要結論的.證明，有可能考到，不要放過。
當然，該公式的證明并不難。先考慮f(x)*g(x)在點x0處的導數。函數在一點的導數自然用導數定義考察，可以按照導數定義寫出一個極限式子。該極限為“0分之0”型，但不能用洛必達法則，因為分子的導數不好算(乘積的導數公式恰好是要證的，不能用!)。利用數學上常用的拼湊之法，加一項，減一項。這個“無中生有”的項要和前后都有聯(lián)系，便于提公因子。之后分子的四項兩兩配對，除以分母后考慮極限，不難得出結果。再由x0的任意性，便得到了f(x)*g(x)在任意點的導數公式。
高數定理證明之積分中值定理:
該定理條件是定積分的被積函數在積分區(qū)間(閉區(qū)間)上連續(xù)，結論可以形式地記成該定積分等于把被積函數拎到積分號外面，并把積分變量x換成中值。如何證明?可能有同學想到用微分中值定理，理由是微分相關定理的結論中含有中值�？梢园凑沾怂悸吠路治觯贿^更易理解的思路是考慮連續(xù)相關定理(介值定理和零點存在定理)，理由更充分些：上述兩個連續(xù)相關定理的結論中不但含有中值而且不含導數，而待證的積分中值定理的結論也是含有中值但不含導數。
若我們選擇了用連續(xù)相關定理去證，那么到底選擇哪個定理呢?這里有個小的技巧——看中值是位于閉區(qū)間還是開區(qū)間。介值定理和零點存在定理的結論中的中值分別位于閉區(qū)間和開區(qū)間，而待證的積分中值定理的結論中的中值位于閉區(qū)間。那么何去何從，已經不言自明了。
若順利選中了介值定理，那么往下如何推理呢?我們可以對比一下介值定理和積分中值定理的結論：介值定理的結論的等式一邊為某點處的函數值，而等號另一邊為常數A。我們自然想到把積分中值定理的結論朝以上的形式變形。等式兩邊同時除以區(qū)間長度，就能達到我們的要求。當然，變形后等號一側含有積分的式子的長相還是挺有迷惑性的，要透過現(xiàn)象看本質，看清楚定積分的值是一個數，進而定積分除以區(qū)間長度后仍為一個數。這個數就相當于介值定理結論中的A。
接下來如何推理，這就考察各位對介值定理的熟悉程度了。該定理條件有二：1.函數在閉區(qū)間連續(xù)，2.實數A位于函數在閉區(qū)間上的最大值和最小值之間，結論是該實數能被取到(即A為閉區(qū)間上某點的函數值)。再看若積分中值定理的條件成立否能推出介值定理的條件成立。函數的連續(xù)性不難判斷，僅需說明定積分除以區(qū)間長度這個實數位于函數的最大值和最小值之間即可。而要考察一個定積分的值的范圍，不難想到比較定理(或估值定理)。
高數定理證明之微積分基本定理:
該部分包括兩個定理：變限積分求導定理和牛頓-萊布尼茨公式。
變限積分求導定理的條件是變上限積分函數的被積函數在閉區(qū)間連續(xù)，結論可以形式地理解為變上限積分函數的導數為把積分號扔掉，并用積分上限替換被積函數的自變量。注意該求導公式對閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導數要區(qū)別對待：對應開區(qū)間上每一點的導數是一類，而區(qū)間端點處的導數屬單側導數�；ㄩ_兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數在開區(qū)間上任意點x處的導數。一點的導數仍用導數定義考慮。至于導數定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權利了。單側導數類似考慮。
“牛頓-萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學與積分學的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科。”這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數中舉足輕重的作用。而多數考生能熟練運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。
該公式和變限積分求導定理的公共條件是函數f(x)在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區(qū)間上的一個原函數，結論是f(x)在該區(qū)間上的定積分等于其原函數在區(qū)間端點處的函數值的差。該公式的證明要用到變限積分求導定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導定理的條件成立，故變限積分求導定理的結論成立。
注意到該公式的另一個條件提到了原函數，那么我們把變限積分求導定理的結論用原函數的語言描述一下，即f(x)對應的變上限積分函數為f(x)在閉區(qū)間上的另一個原函數。根據原函數的概念，我們知道同一個函數的兩個原函數之間只差個常數，所以F(x)等于f(x)的變上限積分函數加某個常數C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側的表達式結合推出的等式變形，不難得出結論。
考研數學沖刺攻堅的四步策略
1、堅持每天做一定數量的習題，保持題感
很多同學認為到了復習的后期，數學只需要看看以前的錯題和不會的題目，掃除盲點即可，這樣的想法是大錯特錯的。我們必須要保證每天做一定數量的 習題，保持這樣的做題狀態(tài)一直到考試的前一天。建議同學們每三天做一套數學模擬卷，一天全真模擬，剩下的兩天仔細看參考答案解析，并且還要堅持找一些題目 來做。這樣就可以保證每天都做題目。其實數學是隔一段時間不接觸就會很快的遺忘的，三兩天不做數學題再做的時候就感覺很生疏，磕磕碰碰，思路不順暢。這樣的狀態(tài)非常不利于在真實考場上的發(fā)揮�？佳袛祵W雖然題目不會很難，比較基礎，但是有一個特點就是計算量非常大，如果做題的時候不順手的話，一般很難全部完 成所有的考題。堅持每天做數學題，這一點非常非常重要，希望同學們能夠重視。
2、以前總結的錯題和不會的題目要經�？�
前期我們強調過一定要在平時做題的過程中注意把錯題和不會的題做好標記，這在復習的沖刺階段就派上了大用場。因為到后期的時候，時間很緊張，有了錯題集，就知道自己哪兒會哪兒不會，知道有限精力應該放在哪兒，后期時間很緊張，不可能再每個題目再過一遍，也沒有必要�？佳泻笃谟邢薜木σ欢ㄒ旁诘度猩希槁┭a缺，不能再像剛開始的時候那樣面面俱到。對于以前總結的錯題和不會的題目，建議最好不要看解答，自己再做一遍。考研數學雖然本質上就是做題再做題，但是在后期的時候沒有必要再去搞題海戰(zhàn)術，沒有必要去找市場上充斥的大量的模擬題，不是什么題目都有質量值得你花寶貴的時間去做。后期把主要精力花在曾經的錯題和不會的題目上，掃除盲點，這樣更有針對性。
3、把基本概念弄懂，把基本理論弄透
數學的知識體系很龐大，從知識論的角度來講，它的內在結構很嚴正，很富有層次感。從概念、定義到公理，從公理到定理、推論，層層演進，步步深入。如果忽視了數學最基礎的知識，很多人就可能知其然、不知其所以然，有時候你絞盡腦汁不得其解，很可能只是因為你對某個概念的理解不夠透徹。
考研數學需要掌握的知識點并不多，但相互之間聯(lián)系復雜、千絲萬縷，點到點的邏輯關系和深層次的框架結構難于理清。任何一門學科學到一定的高度必 然要求你對這門學科的知識結構有一個清晰的輪廓，要站在一定高度對所有內容有一個系統(tǒng)的認識。但是這個認識要建立在對所有的知識點透徹理解的基礎上。
所謂把基本理論學透，是從以下幾個方面來理解和把握的：首先是概念產生的實際背景是什么，界定此概念所運用到的數學思想和方法是什么。接下來要 弄懂這個概念的定義式，包括它的數學含義、幾何意義和物理意義，以及在這個概念上的拓展和延伸等等。對于每個概念我們都要盡可能地從這幾個方面來理解把握。理論性的內容，比如說定理、性質、推論，首先要清楚它的條件是什么，結論是什么，這是最起碼的要求。數學考試實際上就是考察這些定理、推論的運用，只 要理解透了，不管出題方式怎么刁鉆，你都可以以靜制動，以不變應萬變。所謂萬變不離其宗。
到了后期沖刺的關鍵階段，對基本概念和基本知識點的精確透徹理解顯得尤為重要，不要留下一個不確定的知識點，在做題的過程中碰到不確定的內容一 定要勤于翻書，回到課本上去把它真正的理解和記憶。還有就是一些基本公式，前期做題還可以翻翻書，這個階段就要真正的牢記了，而且一定要精準的記住，不可以含混不清。
4、保持良好心態(tài)，作息規(guī)律
最后的階段，同學們一定要保持平和的心態(tài)，要相信自己這么長時間以來的努力，一定能夠在考場上發(fā)揮自如，取得理想成績。有些同學感覺壓力非常大，所以沉浸在題海當中，每天熬夜到很晚，這種疲勞戰(zhàn)術會對復習效率產生非常不好的影響。因為人的精力是有限的，晚上熬夜，白天就不會有精神，要學會怎么把有限的時間合理安排，最優(yōu)化利用。建議同學們正常作息，同時注意勞逸結合，把自己的狀態(tài)調整到最佳應試狀態(tài)。另外，由于數學的考試是在上午，建議同學們把數學的學習時間調到上午，早上8點到11點連續(xù)做三個小時的數學題，保持到考試之前。
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