淺談數(shù)學的教學設計
一、我國社會發(fā)展對數(shù)學課程的要求
促進數(shù)學課程發(fā)展的眾多動力中，沒有比社會發(fā)展這一動力更大的了，社會發(fā)展的需要主要包括：社會生產(chǎn)力發(fā)展的需要，經(jīng)濟和科學技術發(fā)展的需要和政治方面的要求。
我國社會發(fā)展對數(shù)學課程提出了以下要求。
（一）目的性
教育必須為社會主義經(jīng)濟建服務。這就要求數(shù)學課程要有明確的目的性，即要為社會主義經(jīng)濟建設培養(yǎng)各級人才奠定基礎，為提高廣大勞動者的素質(zhì)做出貢獻。當今社會正由工業(yè)社會向信息社會過渡，在信息社會里多數(shù)人將從事信息管理和生產(chǎn)工作；社會財富增加要更多地依靠知識；知識更新、技術進步周期和人的職業(yè)壽命都在日益縮短，要適應日新月異的社會，必須把勞動者的素質(zhì)、才能提到極重要的位置，而且要使他們具備終身學習的能力。
（二）實用性
數(shù)學課程的內(nèi)容應具有應用的廣泛性，可以運用于解決社會生產(chǎn)、社會生活以及其他學科中的大量實際問題；運用于訓練人的思維。應該精選現(xiàn)代社會生和生活中廣泛應用的數(shù)學知識作為數(shù)學課程的內(nèi)容。另外，還要考慮其他學科對數(shù)學的要求。數(shù)學課程還應滿足現(xiàn)代科學技術發(fā)展的需要，加進其中廣泛應用的數(shù)學知識，如計算機初步知識、統(tǒng)計初步知識離散概率空間、二項分布等概率初步知識。
數(shù)學不僅是解決實際問題的工具，而且也廣泛用來訓練人的思維，培養(yǎng)有數(shù)學素養(yǎng)的社會成員，要使學生懂得數(shù)學的價值，對自己的數(shù)學能力有信心，有解決數(shù)學問題的能力，學會數(shù)學交流，學會數(shù)學思想方法。
（三）思想性和教育性
我們培養(yǎng)的人應該有理想、有道德、有文化、有紀律、熱愛社會主義祖國和社會主義事業(yè)，具有國家興旺發(fā)達而艱苦奮斗的精神；應當不斷追求新知、實事求是、獨立思考、勇于創(chuàng)新，具有辯證唯物主義觀點。這就要求數(shù)學課程適當介紹中國數(shù)學史，以激發(fā)學生的民族自豪感。用辯證唯物主義觀點來闡述課程內(nèi)容，有意識地體現(xiàn)數(shù)學來源于實踐又反過來作用于實踐的辯證唯物主義觀點。體現(xiàn)運動、變化、相互聯(lián)系的觀點。
《實驗教材》用“精簡實用”的選材標準來滿足這些要求。
二、數(shù)學的發(fā)展對數(shù)學課程的要求
�。ㄒ唬┲袑W數(shù)學課程應當是代數(shù)、幾何、分析和概率這四科的基礎部分恰當配合的整體
數(shù)學研究對象是現(xiàn)實世界的數(shù)量關系和空間形式。基礎數(shù)學的對象是數(shù)、空間、函數(shù)，相應的是代數(shù)、幾何、分析等學科，它們是各成體系但又密切聯(lián)系的。現(xiàn)代數(shù)學中出現(xiàn)了許多綜合性數(shù)學分支，都是在它們的基礎上產(chǎn)生并發(fā)展起來的，研究的思想方法也是它們的思想方法的綜合運用。代數(shù)、幾何、分析在相鄰學科和解決各種實際問題中都有廣泛應用，所以中學數(shù)學課程應當是它們恰當配合的整體。曾經(jīng)出現(xiàn)過的把中學課程代數(shù)結(jié)構化（如“新數(shù)”）的設計方案。“以函數(shù)為綱”使中學數(shù)學課程分析化的設計方案都不成功，正是沒有滿足這一要求。
（二）適當增加應用數(shù)學的內(nèi)容
應用數(shù)學近年來蓬勃發(fā)展，出現(xiàn)了許多新的分支和領域，應用范圍也在日益擴大，這種形勢也要求在中學數(shù)學課程中有所反映。從“新數(shù)運動”開始，各國數(shù)學課程內(nèi)容中陸續(xù)增加了概率統(tǒng)計和計算機的初步知識。這一方面說明概率統(tǒng)計和計算機知識在社會生產(chǎn)和社會生活中的廣泛應用，另一方面也說明數(shù)學的發(fā)展擴大了它的基礎，對中學數(shù)學課程提出了新的要求。
由于計算機科學研究的需要，“離散數(shù)學”越來越顯得重要。因此，中學數(shù)學課程中應當增加離散數(shù)學的比重。
�。ㄈ┫到y(tǒng)性
基礎數(shù)學，包括代數(shù)、幾何、分析到19世紀末都相繼奠定了嚴格的邏輯基礎。到本世紀30年代法國布爾巴基學派用公理化方法，使整個數(shù)學結(jié)構化。任何一個數(shù)學系統(tǒng)都可以歸結(jié)為代數(shù)結(jié)構、序結(jié)構和拓撲結(jié)構這三種母結(jié)構的復合。經(jīng)過用公理化方法的整理，使數(shù)學成為一個邏輯嚴密、系統(tǒng)的整體結(jié)構。因此，作為符合數(shù)學知識結(jié)構要求的中學數(shù)學課程就必須具有一定的系統(tǒng)性和邏輯嚴密性。
（四）突出數(shù)學思想和數(shù)學方法
現(xiàn)代數(shù)學進行著不同領域的思想、方法的相互滲透。許多曾經(jīng)認為沒有任何共同之處的數(shù)學分支，現(xiàn)在已建立在共同的統(tǒng)一的思想基礎上了。
數(shù)學思想和方法把數(shù)學科學聯(lián)結(jié)成一個統(tǒng)一的有結(jié)構的整體。所以，我們應該體現(xiàn)突出數(shù)學思想和數(shù)學方法。
《實驗教材》以“反璞歸真”的指導思想來滿足數(shù)學學科發(fā)展的要求。
三、教育、心理學發(fā)展對數(shù)學課程的要求
教育、心理學的發(fā)展，對教學規(guī)律和學生的心理規(guī)律有了更深入的認識。數(shù)學課程的設計要符合學生認知發(fā)展的規(guī)律。認知發(fā)展，要經(jīng)歷多種水平，多種階段。認知的發(fā)展呈現(xiàn)一定的規(guī)律�；谶@些規(guī)律，要求數(shù)學課程具有：
（一）可接受性
教學內(nèi)容、方法都要適合學生的認知發(fā)展水平。獲得新的數(shù)學知識的過程，主要依賴于數(shù)學認知結(jié)構中原有的適當概念，通過新舊知識的相互作用，使新舊意義同化，從而形成更為高度同化的數(shù)學認知結(jié)構的過程，它包括輸入、同化、操作三個階段。因此，作為數(shù)學課程內(nèi)容要同學生已有的數(shù)學基礎有密切聯(lián)系。其抽象性與概括性不能過低或過高，要處于同級發(fā)展水平。這樣才能使數(shù)學課程內(nèi)容被學生理解，被他們接受，才能產(chǎn)生新舊知識有意義的同化作用，改造和分化出新的數(shù)學認知結(jié)構。
（二）直觀性
皮亞杰的認知發(fā)展階段的理論認為，中學生的認知發(fā)展水平已由具體運算進入了抽象運算階段，但是即使他們在整體上認知水平已經(jīng)達到了抽象運算的水平，在每個新數(shù)學概念的學習過程中仍然要經(jīng)歷從具體到抽象的轉(zhuǎn)化，他們在學習新的數(shù)學概念時仍采用具體或直觀的方式去探索新概念。因此，數(shù)學課程應向?qū)W生提供豐富的直觀背景材料。不拘泥于抽象的形式，著重于向?qū)W生提示抽象概念的來龍去脈和其本質(zhì)。也就是要“反璞歸真”。
（三）啟發(fā)性
蘇聯(lián)心理學家維果斯基認為兒童心理機能“最近發(fā)展區(qū)”的水平。表現(xiàn)為發(fā)展程序尚未成熟，正處于形成狀態(tài)。兒童還不能獨立地解決一定的靠智力解決的任務，但只要有一定的幫助和自己的努力，就有可能完成任務。數(shù)學課程的啟發(fā)性就在于激發(fā)、誘導那些正待成熟的心理機能的發(fā)展，不斷地使“最近發(fā)展區(qū)”的矛盾得到轉(zhuǎn)化，而進入更高一級的數(shù)學認知水平。
要使數(shù)學課程真正具有啟發(fā)性，需要克服兩種偏向：第一，內(nèi)容過于簡單，缺乏思考余地。沒有挑戰(zhàn)性，不能激發(fā)學生思維，甚至不能滿足學生學習愿望。第二，內(nèi)容過于復雜、抽象。超過了學生數(shù)學認知結(jié)構中“最近發(fā)展區(qū)”的水平，學生將會由于不能理解它，產(chǎn)生畏懼心理，最后厭惡學習數(shù)學。
布魯納曾指出，向成長中的兒童提出難題，激勵他們向下一階段發(fā)展，這樣的努力是值得的。在這種思想的指導下，他的數(shù)學課程采用螺旋式上升的原則，這是課程內(nèi)容啟發(fā)性的體現(xiàn)。
《實驗教材》用“順理成章、深入淺出”的指導思想來體現(xiàn)以上諸要求。
四、三方面需求的和諧統(tǒng)一
上面分別考查了三個方面對數(shù)學課程提出的要求，這些要求有時互為前題，互相補充，而有時卻是彼此矛盾的。這導致了數(shù)學課程設計的復雜性和艱巨性。如何才能使這三方面的要求和諧統(tǒng)一呢？從《實驗教材》11年的實驗中形成了16字指導數(shù)學課程設計的思想，比較恰當?shù)慕y(tǒng)一了以上三方面的需求。這16字的指導思想是“精簡實用、反璞歸真、順理成章、深入淺出”。
“精簡實用”是個基本的指導思想，它恰當?shù)乇憩F(xiàn)了理論和實際的正確關系。由實際到理論，就是由繁精簡，把實際中多樣的事物、現(xiàn)象，經(jīng)過分析、綜合，歸納出簡單而又具有普遍性的道理，這就是理論。而只有精而簡的理論才能用來“以簡馭繁”。所以“精簡實用”在科學上的意義就是要尋求真正具有普遍性、簡明扼要的理論。要做到精簡，必須抓住重點。教材中普遍實用的最基礎部分，那些具有普遍意義的通性、通法就是重點。中學數(shù)學課程內(nèi)容應是代數(shù)、幾何、分析和概率這四科的基礎部分恰當配合的整體，這樣做既可滿足社會的需要、數(shù)學知識結(jié)構的要求，又可滿足可接受性的要求。其中普遍實用的最基礎部分是代數(shù)中的數(shù)系，最普遍有用的是數(shù)系的運算律（“數(shù)系通性”）；解代數(shù)方程；多項式運算；待定系數(shù)法。幾何中的重要內(nèi)容是教導學生研習演繹法，要點在于讓學生逐步體會空間基本性質(zhì)的本質(zhì)與用法。平行四邊形定理、相似三角形定理、勾股定理可以說是歐氏平面幾何的三大支柱，它們也就是把空間結(jié)構全面代數(shù)化的理論基礎。用向量把幾何學全面代數(shù)化，講向量身體、解析幾何及其原理，這些就是幾何課的重點。分析的重要內(nèi)容除函數(shù)、極限、連續(xù)等分析學的基本概念之外，變化率是要緊的概念。分析中最基本的方法是逼近法。
“反璞歸真”就是著重于教學生以基礎數(shù)學的本質(zhì)，而不拘泥于抽象的形式。初等代數(shù)最基本的思想、最重要的本質(zhì)就是那些非常簡單的數(shù)的運算律，它們是整個代數(shù)學的根本所在。把它形式化，也就是多項式的運算和理論。傳統(tǒng)的代數(shù)教學從多項式的形式理論開始，學生不解其義，感到枯燥�！秾嶒灲滩摹贩磋睔w真，先講代數(shù)的基本原理就是靈活運用運算律，首先用以解決一次方程的實際問題，學生自然地覺得應該有一個多項式理論，然后再講多項式，這樣學生易于理解多項式的來源與本質(zhì)�！斑@就是反璞歸真”的一個實例。
基本的數(shù)學思想與數(shù)學方法是基礎數(shù)學的本質(zhì)，突出其教學是把知識教學與能力訓練統(tǒng)一起來的重要一環(huán)。把知識看作一個過程，弄清它的來龍去脈，掌握思想脈絡，學生的數(shù)學才能才發(fā)展起來，要學生“會學”數(shù)學，就必須讓學生掌握基本的數(shù)學思想和方法，會“數(shù)學地”提出問題，思考問題、解決問題。
《實驗教材》一開始就突出了用符號（字母）表示數(shù)的基本思想和方法。
集合的思考方法，在幾何和代數(shù)中都十分重視。經(jīng)常訓練學生從考慮具體的數(shù)學對象到考慮對象的集合，進而考慮分類等問題。
函數(shù)的思考方法，考慮對應，考慮運動的變化、相依關系，由研究狀態(tài)過渡到研究過程。分解和組合的方法。對數(shù)學問題的分析與綜合、轉(zhuǎn)化、推廣與限定（一般化與特殊化）、類比、遞推、歸納等基本的數(shù)學思想與方法都分別得到強調(diào)。
“順理成間”就是要從歷史發(fā)展程序和認識規(guī)律出發(fā)，“順理成間”地設計數(shù)學課程。數(shù)學是一種演繹體系，有時甚至本末倒置。這正是數(shù)學本身的要求和學生心理發(fā)展的要求相矛盾的所在。正確處理這個矛盾，使這兩方面的要求和諧統(tǒng)一，課程設計就既不能違背邏輯次序。更要符合認識程序。因此，要參照數(shù)學發(fā)展歷史，用數(shù)學概念的逐步進化演變過程作為明鏡，用基礎數(shù)學的層次與脈絡作為依據(jù)來設計數(shù)學課程。
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