2018屆襄陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案
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2018屆襄陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷題目
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的).
1. 設(shè)集合 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
2. 已知復(fù)數(shù) 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線 上，復(fù)數(shù) ( 是虛數(shù)單位)，則 ( )
A. B. C. D.
3. 若 ，則 的值為( )
A. B. C. D.
4. 在 內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)滿足 的概率為( )
A. B. C. D.
5. 若圓 與直線 交于不同的兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為( )
A. B. C. D.
6. 70年代中期，美國各所名牌大學(xué)校園內(nèi)，人們都像發(fā)瘋一般，夜以繼日，廢寢忘食地玩一個(gè)數(shù)學(xué)游戲.這個(gè)游戲十分簡單：任意寫出一個(gè)自然數(shù) ，并且按照以下的規(guī)律進(jìn)行變換：如果是個(gè)奇數(shù)，則下一步變成 ;如果是個(gè)偶數(shù)，則下一步變成 .不單單是學(xué)生，甚至連教師、研究員、教授與學(xué)究都紛紛加入.為什么這個(gè)游戲的魅力經(jīng)久不衰?因?yàn)槿藗儼l(fā)現(xiàn)，無論 是怎樣一個(gè)數(shù)字，最終都無法逃脫回到谷底 .準(zhǔn)確地說，是無法逃出落入底部的 循環(huán)，永遠(yuǎn)也逃不出這樣的宿命.這就是著名的“冰雹猜想”.按照這種運(yùn)算，自然數(shù) 經(jīng)過十步運(yùn)算得到的數(shù)為 ( )
A. B. C. D.
7. 在 中， ， ， 分別為內(nèi)角 ， ， 的對(duì)邊，且 ，則 的值為( )
A. B. C. D.
8. 某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為 ，則圖中 的值為( )
A. B. C. D.
9. 運(yùn)行如下程序框圖，如果輸入的 ，則輸出 屬于( )
A. B. C. D.
10. 已知向量 ， ， ，若 與 的夾角為60°，且 ，則實(shí)數(shù) 的值為( )
A. B. C. 6 D. 4
11. 如圖，在四邊形 中， ， ， .現(xiàn)沿對(duì)角線 折起，使得平面 平面 ，且三棱錐 的體積為 ，此時(shí)點(diǎn) ， ， ， 在同一個(gè)球面上，則該球的體積是( )
A. B. C. D.
12. 已知函數(shù) 存在極值，若這些極值的和大于 ，則實(shí)數(shù) 的`取值范圍為( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本試卷包括必考題和選考題兩部分.第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22題～第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)
13. 若 ，其中 ，則 的值為 .
14. 已知函數(shù) ，若 ，實(shí)數(shù) 滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù) 的最大值為 .
15. 過點(diǎn) 的直線交拋物線 于 兩點(diǎn)，若拋物線的焦點(diǎn)為 ，則 面積的最小值為 .
16. 以下四個(gè)命題：
①已知隨機(jī)變量 ，若 ，則 的值為 ;
�、谠O(shè) ，則“ ”是“ ”的充分不必要條件;
�、酆瘮�(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1;
�、苊} ，,則 為 .
其中真命題的序號(hào)為 .
三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17. (本小題滿分12分)
已知數(shù)列 為公差不為0的等差數(shù)列，滿足 ，且 成等比數(shù)列.
(1)求 的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列 滿足 ，且 ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
18. (本小題滿分12分)
已知在四棱錐 中， 平面 , , 是邊長為 的等邊三角形， ， 為 的中點(diǎn).
(1)求證： ;
(2)若直線 與平面 所成角的正切值為 ，
求二面角 的大小.
19. (本小題滿分12分)
近年來，微信越來越受歡迎，許多人通過微信表達(dá)自己、交流思想和傳遞信息，微信是現(xiàn)代生活中進(jìn)行信息交流的重要工具.而微信支付為用戶帶來了全新的支付體驗(yàn)，支付環(huán)節(jié)由此變得簡便而快捷.某商場(chǎng)隨機(jī)對(duì)商場(chǎng)購物的 名顧客進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中 歲以下占 ，采用微信支付的占 ， 歲以上采用微信支付的占 .
(1)請(qǐng)完成下面 列聯(lián)表：
歲以下 歲以上 合計(jì)
使用微信支付
未使用微信支付
合計(jì)
并由列聯(lián)表中所得數(shù)據(jù)判斷有多大的把握認(rèn)為“使用微信支付與年齡有關(guān)”?
(2)采用分層抽樣的方法從 名顧客中抽取 人參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)，一等獎(jiǎng)兩名，記 “ 歲以下”得一等獎(jiǎng)的人數(shù)為 ，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式: ， .
參考數(shù)據(jù)：
20. (本小題滿分12分)
已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為 ， ， 是橢圓上一點(diǎn)，若 ， .
(1)求橢圓的方程;
(2)點(diǎn) 是橢圓上任意一點(diǎn)， 分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線 與直線 分別交于 兩點(diǎn)，試證：以 為直徑的圓交 軸于定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
21. (本小題滿分12分)
已知函數(shù) .
(1)如果對(duì)于任意的 ， 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍;
(2)若 ，過點(diǎn) 作函數(shù) 的圖象的所有切線，令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)按從小到大構(gòu)成數(shù)列 ，求數(shù)列 的所有項(xiàng)之和.
請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分.
22. (本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn) ，以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 的極坐標(biāo)方程為 .直線 的參數(shù)方程為 為參數(shù) .
(Ⅰ)寫出曲線 的直角坐標(biāo)方程和直線 的普通方程;
(Ⅱ)設(shè)直線 與曲線 的兩個(gè)交點(diǎn)分別為 ，求 的值.
23. (本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講
已知函數(shù) .
(Ⅰ)解不等式 ;
(Ⅱ)若關(guān)于 的不等式 在 上的解集為 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
2018屆襄陽市高考數(shù)學(xué)模擬試卷答案
1 2 3 4 5 6
C D A B C C
7 8 9 10 11 12
B C A A A B
13. 14. 15. 16.②③
17.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列 的公差為 ( )，由 成等比數(shù)列可知 ,又 ，解得 ,∴ .………………4分
(2)由 ，得 ，
當(dāng) 時(shí)，
，………………………8分
對(duì) 上式也成立，∴ ，∴ ，
∴ .………12分
18. 【解析】(1)因?yàn)?是等邊三角形， 為 的中點(diǎn)，所以 .又因?yàn)?平面 ,
，可得 平面 ，因?yàn)?平面 ，所以 ;(4分)
(2)如圖，以點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線分別為 軸，過 且與直線 平行的直線為 軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?平面 ，所以 為直線 與平面 所成的角.(6分)
由題意得 ，即 ，故 ， ， ，于是 ， ， ， ，設(shè)平面 與平面 的法向量分別為 ， ，則由 得 ，令 ，得 ，所以 .同理求得 ， (10分)
所以 ，則二面角 的大小為 .(12分)
19.【解析】(1)由已知可得， 歲以下的有 人，使用微信支付的有 人， 歲以上使用微信支付的有 人.所以 列聯(lián)表為：
歲以下 歲以上 合計(jì)
使用微信支付 40 10 50
未使用微信支付 20 30 50
合計(jì) 60 40 100
由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算可得 的觀測(cè)值為 ，由于 ，所以有 的把握認(rèn)為“使用微信支付與年齡有關(guān)”. .....5分
(2)采用分層抽樣的方法從 名顧客中抽取 人，則從“ 歲以下”的人中抽取 人，從“ 歲以上”的人中抽取 人， 的所有可能取值為 ，又 ， ， ，故分布列如下：
數(shù)學(xué)期望 . .....12分
20.【解析】(1)由 ，得 ，即 ，由勾股定理，得 ，且 ，解得 ，根據(jù)橢圓的定義，可得 ，即 ，所以 ，所以橢圓的方程為 ......4分
(2)由(1)得 ， ，設(shè) ，則直線 的方程為 ，它與直線 的交點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，直線 的方程為 ，它與直線 的交點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，再設(shè)以 為直徑的圓交 軸于點(diǎn) ，則 ，從而 ，即 ，即 ，解得 .故以 為直徑的圓交 軸于定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為 或 . ..........12分
21.【解析】(1)令 ，要使 恒成立，只需當(dāng) 時(shí)， ， ，令 ，則 對(duì) 恒成立， 在 上是增函數(shù)，則 ，..........2分
①當(dāng) 時(shí)， 恒成立， 在 上為增函數(shù)， ， 滿足題意;
�、诋�(dāng) 時(shí)， 在 上有實(shí)根 , 在 上是增函數(shù)，則當(dāng) 時(shí)， ， 不符合題意;
③當(dāng) 時(shí)， 恒成立， 在 上為減函數(shù)， 不符合題意， ，即 . ..........5分
(2) ， ，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則切線斜率為 ，從而切線方程為 ， ，即 ，令 ， ，這兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，則它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)于 對(duì)稱，從而所作的所有切線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列 的項(xiàng)也關(guān)于 成對(duì)出現(xiàn)，又在 內(nèi)共有1008對(duì)，每對(duì)和為 ，∴數(shù)列 的所有項(xiàng)之和為 . .....12分
22.【解析】(1)曲線 的直角坐標(biāo)方程為 ，直線 的普通方程為 .……5分
(2)點(diǎn) 在直線 上，將直線 的參數(shù)方程代入曲線 的直角坐標(biāo)方程，得 ， ，設(shè)兩根為 ， ， ， ，故 與 異號(hào)， ， ， .………………10分
23.【解析】(1)不等式 可化為 ，當(dāng) 時(shí)， ，解得 ，即 ;當(dāng) 時(shí)， ，解得 ，即 ;當(dāng) 時(shí)， ，解得 ，即 ，綜上所述，不等式 的解集為 或 .……………5分
(2)由不等式 可得 ， ，
∴ ，即 ，解得 或 ，故實(shí)數(shù) 的取值范圍是 或 .…10分
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