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求和問(wèn)題的解決方法
在各個(gè)領(lǐng)域，我們需要用到練習(xí)題的情況非常的多，只有多做題，學(xué)習(xí)成績(jī)才能提上來(lái)。學(xué)習(xí)就是一個(gè)反復(fù)反復(fù)再反復(fù)的過(guò)程，多做題。一份好的習(xí)題都是什么樣子的呢？下面是小編為大家收集的求和問(wèn)題的解決方法，希望能夠幫助到大家。
求和問(wèn)題的解決方法：
［問(wèn)題情景］
學(xué)校組織看電影了，求和問(wèn)題的解決。數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們留心觀察影劇院的座位排數(shù)和每排座位數(shù)，并要求算出影劇院共有多少個(gè)座位。第二天，同學(xué)們先把觀察到的情況向老師匯報(bào)如下：這個(gè)影劇院第一排有22個(gè)座位，每排的后一排都比前一排多2個(gè)座位，最后一排有6８?jìng)�(gè)座位，共24排。老師聽(tīng)后，問(wèn)：你們算出了這個(gè)影劇院共有多少個(gè)座位嗎？同學(xué)們講出了各自的解答。但，老師對(duì)同學(xué)們的解答并不滿意，因?yàn)樗麄兊慕獯饚缀跸嗤驾^繁鎖。
�。蹎�(wèn)題詮釋］
要計(jì)算共有多少個(gè)座位，也就是求這樣一列數(shù)“22，24，26，2８……64，66，6８”之和。若從22開(kāi)始一個(gè)接一個(gè)相加求和，就顯得繁鎖，但仔細(xì)分析這列數(shù)，它有一個(gè)明顯的特點(diǎn)：從第二個(gè)數(shù)起，后一個(gè)數(shù)減去前一個(gè)數(shù)的差都是2，根據(jù)這列數(shù)的排列特點(diǎn)，在求它們的和時(shí)，應(yīng)用加法交換律和結(jié)合律，容易發(fā)現(xiàn)：22＋6８＝24＋66＝26＋64＝2８＋62＝……＝90，即第一個(gè)數(shù)加最后一個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)加倒數(shù)第二個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)加倒數(shù)第三個(gè)數(shù)，……，和都等于90，數(shù)學(xué)論文《求和問(wèn)題的解決》。這24個(gè)數(shù)相加，有多少個(gè)90呢？很顯然有12個(gè)。所以22＋24＋26＋……＋64＋66＋6８＝90×12＝10８0就是說(shuō)，利用這種方法計(jì)算，很快就能知道這個(gè)影劇院共有10８0個(gè)座位。
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上述一列數(shù)中，第一個(gè)數(shù)稱為首項(xiàng)，第二個(gè)數(shù)稱為第二項(xiàng)，依此類推，最后一個(gè)數(shù)稱為末項(xiàng)，這列數(shù)一共有24項(xiàng)。如果一列數(shù)，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它前面一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)定數(shù)（這一個(gè)定數(shù)叫做公差），那么，這樣一列數(shù)的和，可以用“（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷公差”來(lái)求出，且計(jì)算簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確。
�。蹎�(wèn)題解決］
小明為測(cè)量一座高樓的高度，他站在高樓的頂上，讓一物體從他的腳邊自由掉下，后測(cè)得物體第一秒鐘落下4.9米，以后每秒多落下9.８米，經(jīng)過(guò)10秒鐘到達(dá)地面。這座高樓共有多高？分析：根據(jù)題意，可知：
第一秒落下：4.9＝4.9＋9.８×（1－1）
第二秒落下：4.9＋9.８＝4.9＋9.８×（2－1）
第三秒落下：4.9＋9.８＋9.８＝4.9＋9.８×（3－1）
……
第10秒落下：4.9＋9.８×（10－1）＝93.1
所以，這座樓的高為（4.9＋93.1）×10÷2＝490（米）
數(shù)列求和公式方法總結(jié)：
一、分組轉(zhuǎn)化求和法
若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列構(gòu)成，則求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn時(shí)可以用分組求和法求解。一般步驟是：拆裂通項(xiàng)――重新分組――求和合并。
例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和
解由和式可知，式中第n項(xiàng)為an=n（3n+1）=3n2+n
∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）
=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）
=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）
=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2
=n（n+1）2
二、奇偶分析求和法
求一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，如果需要對(duì)n進(jìn)行奇偶性討論或?qū)⑵鏀?shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分組求和再求解，這種方法稱為奇偶分析法。
例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
分析：觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn與數(shù)列項(xiàng)數(shù)n的奇偶性有關(guān)，故利用奇偶分析法及分組求和法求解，也可以在奇偶分析法的基礎(chǔ)上利用并項(xiàng)求和法求的結(jié)果。
解：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）
=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2
=-n2-n2+n2+n2=n
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）
=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2
=-n2+n2+n2-n2=-n
綜上所述，Sn=（-1）nn
三、并項(xiàng)求和法
一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn中，某些項(xiàng)合在一起就具有特殊的性質(zhì)，因此可以幾項(xiàng)結(jié)合求和，再求Sn，稱之為并項(xiàng)求和法。形如an=（-1）nf（n）的類型，就可以采用相鄰兩項(xiàng)合并求解。如例3中可用并項(xiàng)求和法求解。
例3：求S=-12+22-32+42-…-992+1002
解S=（-12+22）+（-32+42）+…+（-992+1002）
=（1+2）+（3+4）+…+（99+100）=5050
四、基本公式法
如果一個(gè)數(shù)列是符合以下某種形式，如等差、等比數(shù)列或通項(xiàng)為自然數(shù)的平方、立方的，那么可以直接利用以下數(shù)列求和的公式求和。
常用公式有
�。�1）等差數(shù)列求和公式：Sn=na1+n（n-1）2d=n（a1+an）2
�。�2）等比數(shù)列求和公式：Sn=na1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q=1）（q≠1）
�。�3）1+2+3+…+n=n（n+1）2
�。�4）1+3+5+…+2n-1=n2
�。�5）2+4+6+…+2n=n（n+1）
（6）12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）
�。�7）13+23+33+…+n3=14n2（n+1）2
例1：已知等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=12n-1，設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，求Sn。
解：∵an=12n-1∴a1=1，q=12
∴Sn=1+12+14+…+12n-1=1（1-12n）1-12=2-12n-1
五、裂項(xiàng)相消法
如果一個(gè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式能拆分成兩項(xiàng)差的形式，并且相加過(guò)程中可以互相抵消至只剩下有限項(xiàng)時(shí)，這時(shí)只需求有限項(xiàng)的和，把這種求數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的方法叫做裂項(xiàng)相消法。
裂項(xiàng)相消法中常用的拆項(xiàng)轉(zhuǎn)化公式有：
�。�1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）
�。�2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）
（3）1n（n+1）（n+2）=12[1n（n+1）-1（n+1）（n+2）]
�。�4）1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n），
其中n∈N，k∈R且k≠0
例5：求數(shù)列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+…+n，…的前n和Sn。
解由題知，an=11+2+3+…+n=2n（n+1）=2（1n-1n+1）
∴Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n
=2（1-12）+2（12-13）+2（13-14）+…+2（1n-1n+1）
=2（1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1）
=2（1-1n+1）=2nn+1
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