復變函數(shù)學結(jié)
好久沒更新博客了，原因很多；主要的一點是我在中途換了本書，由《復變函數(shù)及應用》換成了《復分析基礎(chǔ)及工程應用》，然后又從頭看了�，F(xiàn)在大概說說這門學問的學習感受吧！
首先，與微積分相比，它的學習難度要小很多，里面的大部分證明都是短小精悍，非常容易接受的；但是個別定理，比如柯西定理等等，由于受到拓撲知識的約束，一般書上都會略去不證。但是，學的時候一定要注意跟微積分中一些結(jié)論的區(qū)別，例如：在某一點解析，那么就有無窮次導數(shù)；柯西積分公式，洛朗級數(shù)，留數(shù)等。
其次，說說跟學習的內(nèi)容吧，一般而言都是上來先講復數(shù)，然后將解析函數(shù)，然后講一些常用的函數(shù)（例如指數(shù)，對數(shù)，三角，多項式），然后講復積分，然后講級數(shù)，然后講留數(shù)，最后有的書會將初等映射。相比之下，前3章（復積分之前），都是在打基礎(chǔ)，解析函數(shù)的知道滿足的關(guān)系式，具體函數(shù)中注意log的分支，指數(shù)函數(shù)的定義稍有奇葩外，都是一些簡單的東西，到了復積分，可以說才有了復變自己的內(nèi)容。積分不僅在實數(shù)上是困難的，在復數(shù)上也是一樣，所以這一章的內(nèi)容主要圍繞如何算復積分展開�？傮w上講，有3種方法：參數(shù)方程、如果解析，求原函數(shù)、柯西積分公式，其中第3種方法是復變特有的。到了級數(shù)部分其實是既熟悉又陌生的。泰勒級數(shù)大家都會，但是講完泰勒級數(shù)以后還會講一個冪級數(shù)，為洛朗級數(shù)做準備，而在講洛朗級數(shù)時，不論前面的定義如何，但落實到具體計算時，都是轉(zhuǎn)化為與冪級數(shù)相關(guān)的形式計算。而留數(shù)的作用，我理解有的時候也是在幫你算積分：柯西定理告訴你，如果解析，那么積分為0，柯西積分公式告訴你如果有1個極點，那么該如何處理，而留數(shù)告訴你，如果有多個極點，該如何處理。關(guān)于留數(shù)的應用，很大一部分都是再算積分（一般或者反常積分）！基本思想也差不多，可見計算積分一直是所有人的心頭大患，想法利用簡單的方法搞定是數(shù)學家們的期望。
最后，復變還稍微學了一點以前公認的東西，例如代數(shù)學基本定理的證明使用復變就很簡單。
最后，對比一下上面提到的兩本書吧。個人感覺《復分析基礎(chǔ)及工程應用》是一本更好的教科書，主要原因在于：
1.結(jié)構(gòu)，章節(jié)條目更清晰，而且，定義，定理，以及對定理的證明都用粗體標出來了，書后也有便于查閱用的索引頁碼。而且清楚的告訴了讀者，那些內(nèi)容講了，那些內(nèi)容只講了特例，哪些內(nèi)容沒講。而且每章后有簡短的總結(jié)，幫你梳理主要內(nèi)容。
2.它的講述的內(nèi)容更加細致，深入，比如：在初等函數(shù)這一章，專門證明了如何部分分式展開；在積分那一張，他給出的復積分的定義是分隔求和取極限，而《復變函數(shù)及應用》則直接用的是參數(shù)方程定義，感覺很不協(xié)調(diào)。在級數(shù)那一張，它就專門講了級數(shù)收斂的判別法及相關(guān)的內(nèi)容；而在柯西積分定理中，使用了向量分析（格林公式）證明，又使用了周線變形法證明；
3.《復分析基礎(chǔ)及工程應用》中應用的例子講的是與通信緊密相關(guān)的傅里葉變換，拉普拉斯變換，z變換等內(nèi)容，更適合工科學生，而《復變函數(shù)及應用》的例子更偏物理一些。
4.《復分析基礎(chǔ)及工程應用》中共性映射的講-法是先給出概念，然后舉一些例子；而《復變函數(shù)及應用》則是先給出一些映射的例子，然后再講共性映射，這樣感覺開始會有點迷茫，不過我也就是看一個基本概念，因為工作中似乎用不到。
當然《復變函數(shù)及應用》的優(yōu)點也是很明顯的，它略去了很多繁瑣的細節(jié)，直奔主題，如果你想直接搞清楚怎么用，學這本會更快一些。很多章節(jié)的安排都是先告訴你一個定理，然后舉好幾個例子，最后再給出定理的證明。而且課后題也會稍微簡單一點，偏計算為主，證明題稍微復雜一點的，都會給出提示。
應用部分我只看了《復分析基礎(chǔ)及工程應用》，因為它們與通信專業(yè)關(guān)系非常密切；《復變函數(shù)及應用》的應用比較偏物理，我覺得還是算了吧。
復變函數(shù)學結(jié) [篇2]
數(shù)學學科發(fā)展到現(xiàn)在,已成為了分支眾多的學科之一，復變函數(shù)則是其中一個非常重要的分支，是19世紀，cauchy, riemann, weierstrass 等數(shù)學家分別從不同角度建立了復變函數(shù)的系統(tǒng)理論，使復變函數(shù)真正成為分析數(shù)學的一個重要分支。
復變函數(shù)是復數(shù)域上的微積分，是基于解決數(shù)學內(nèi)部矛盾的間接需要而產(chǎn)生的，是由于在生產(chǎn)實際和科學研究中發(fā)現(xiàn)了應用原型而發(fā)展起來的!
復變函數(shù)現(xiàn)在是大學理工科專業(yè)和數(shù)學院系數(shù)學類專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課,但是復變函數(shù)的學習要有高等數(shù)學的基礎(chǔ),如果沒有這方面的知識,學習復變函數(shù)無疑會非常困難,因為這門課程在初學者看來非常抽象,理論性太強。作為復變函數(shù)的教學工作者,如何使得這門課程的課堂變得生動有趣,而且使學生在學習過程中容易理解,是我們不得不思考的問題。
由于復變函數(shù)的'導數(shù)與可導性、微分與可微性是利用類比的方法從一元實變函數(shù)相應概念推廣到復數(shù)域后得到的，它們在形式上與一元實變函數(shù)的導數(shù)、可導性與微分一致，因此在教學中應當勤于和善于比較，既要重視共性，更要注意不同點，切實關(guān)注在推廣到復數(shù)域后出現(xiàn)了什么新情況和新問題，探討出現(xiàn)新問題的原因何在。
在這篇報告中,王錦森先生非常生動地介紹了復變函數(shù)課程的改革思路和分別討論了復變函數(shù)教學中的難點和重點，并且這些難點和重點的教學方法。
難點和重點介紹方面：討論了“在復變函數(shù)可導性(從而判斷函數(shù)解析性)的充要條件中，為什么要求函數(shù)的實部和虛部必須滿足cauchy-riemann方程?”內(nèi)在含義，復變函數(shù)的導數(shù)的幾何意義是否跟實變函數(shù)導數(shù)的幾何意義相同?，一元實函數(shù)的微分中值定理能不能推廣到復變函數(shù)中來?，復變初等函數(shù)與相應的實變初等函數(shù)之間的關(guān)系與差別，復變函數(shù)的積分與一元實變函數(shù)的第二型曲線積分的不同之處，即，它們積分和式的結(jié)構(gòu)不同，積分的表達形式不同，物理意義不同等等，還討論了學習cauchy-goursat 基本定理應當注意的幾個問題，復變函數(shù)積分中有沒有與一元實變函數(shù)微積分中的微積分基本定理和newton-leibniz公式相對應的結(jié)論等等。
這些難點和重點教學法方面介紹了類比教學法，化“復”為“實”，用“已知”解決“未知”的思想等教學法。
參加培訓之前我沒有考慮過這些問題，通過這次學習，我對這些難點與重點的認識進一步深入了。以后的教學過程中用到所學的知識，為提高教學質(zhì)量而努力。
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