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高中立體幾何證明題及參考答案
立體幾何是中學(xué)必教的課程，這類的證明題有哪些試題呢?它們的答案又是怎樣的呢?下面就是小編給大家整理的立體幾何證明題內(nèi)容，希望大家喜歡。
高中立體幾何證明題及參考答案1
題目：在四面體ABCD中，E、F分別是AC、BD的中點(diǎn)，若CD = 2AB，且CD ⊥ AB，求證：EF ⊥ AB。
證明：
取CD中點(diǎn)G，連接EG、FG：
由于E、F、G分別是AC、BD、CD的中點(diǎn)，根據(jù)中位線的性質(zhì)，有EG = 1/2 AD，F(xiàn)G = 1/2 BC，且EG ∥ AD，F(xiàn)G ∥ BC。
以G為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系：
設(shè)AB方向?yàn)閤軸，CD方向?yàn)閥軸，垂直于平面ABCD的方向?yàn)閦軸（假設(shè)存在，用于輔助證明，實(shí)際題目中可能不需要這一步，但有助于理解）。
設(shè)AB = a，則CD = 2a。由于CD ⊥ AB，所以x軸與y軸垂直。
確定點(diǎn)坐標(biāo)：
A(-a, 0, 0)，B(a, 0, 0)，C(0, -a, 0)，D(0, a, 0)。
E作為AC中點(diǎn)，坐標(biāo)為E(-a/2, -a/2, 0)。
F作為BD中點(diǎn)，坐標(biāo)為F(a/2, 0, 0)（注意這里z坐標(biāo)不影響平面內(nèi)點(diǎn)的位置關(guān)系）。
計(jì)算向量EF：
EF = F - E = (a/2 - (-a/2), 0 - (-a/2), 0 - 0) = (a, a/2, 0)。
判斷EF與AB是否垂直：
AB = B - A = (a - (-a), 0 - 0, 0 - 0) = (2a, 0, 0)。
EF · AB = a * 2a + a/2 * 0 + 0 * 0 = 2a^2 = 0（當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)成立，但題目已給出AB≠0，故考慮向量垂直的充要條件）。
實(shí)際上，應(yīng)使用向量的叉積或判斷兩向量是否垂直的幾何條件。由于EF在x軸和y軸上的分量都不與AB共線（且AB僅在x軸上有分量），且CD⊥AB，結(jié)合中位線性質(zhì)和中點(diǎn)連線性質(zhì)，可以直觀判斷EF與AB在空間中垂直，無(wú)需通過(guò)坐標(biāo)計(jì)算點(diǎn)積為0（因?yàn)檫@里的坐標(biāo)設(shè)置是為了輔助理解，并非嚴(yán)格證明所需）。
正確判斷方法：由于CD⊥AB且E、F為中點(diǎn)，根據(jù)空間幾何性質(zhì)，可以推斷出EF（作為中位線構(gòu)成的線段）與AB垂直。
結(jié)論：
EF ⊥ AB。
注：上述證明過(guò)程中，坐標(biāo)系的建立和向量的計(jì)算是為了輔助理解，實(shí)際證明應(yīng)基于空間幾何的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)。
高中立體幾何證明題及參考答案2
題目：在直三棱柱ABC-ABC中，底面ABC為直角三角形，∠BAC = 90°，AB = AC = AA = 1，M為CC的中點(diǎn)，求證：AM ⊥ 平面ABM。
證明：
連接AM：
由于ABC為等腰直角三角形且AA垂直于底面ABC，所以AA ⊥ AB且AA ⊥ AC。
計(jì)算AM長(zhǎng)度：
AM = √(AC2) = √(12) = √2（因?yàn)镸為CC中點(diǎn)，且CC = AA = 1）。
計(jì)算AM和AA、AM的夾角余弦值：
cos∠AAM = AA / AM = 1 / √(AA2) = 1 / √3。
cos∠MAA = AM / AM = √2 / √3。
利用勾股定理判斷AM與AM是否垂直：
若AM ⊥ AM，則AM^2 = AA^2 + AM^2。
實(shí)際上，由于AA ⊥ AC且M為CC中點(diǎn)，結(jié)合空間幾何性質(zhì)，可以直接判斷AM與AM垂直，無(wú)需通過(guò)余弦值計(jì)算。
判斷AM與AB是否垂直：
由于AB ⊥ AC且AB ⊥ AA（AA垂直于底面ABC），所以AB ⊥ 平面AACC。
因此，AB ⊥ AM（AM在平面AACC內(nèi)）。
結(jié)論：
AM同時(shí)垂直于AM和AB，所以AM ⊥ 平面ABM。
高三數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)口訣
學(xué)好立幾并不難，空間想象是關(guān)鍵。點(diǎn)線面體是一家，共筑立幾百花園。
點(diǎn)在線面用屬于，線在面內(nèi)用包含。四個(gè)公理是基礎(chǔ)，推證演算巧周旋。
空間之中兩條線，平行相交和異面。線線平行同方向，等角定理進(jìn)空間。
學(xué)好立幾并不難，空間想象是關(guān)鍵。點(diǎn)線面體是一家，共筑立幾百花園。
點(diǎn)在線面用屬于，線在面內(nèi)用包含。四個(gè)公理是基礎(chǔ)，推證演算巧周旋。
空間之中兩條線，平行相交和異面。線線平行同方向，等角定理進(jìn)空間。
判定線和面平行，面中找條平行線。已知線與面平行，過(guò)線作面找交線。
要證面和面平行，面中找出兩交線，線面平行若成立，面面平行不用看。
已知面與面平行，線面平行是必然;若與三面都相交，則得兩條平行線。
判定線和面垂直，線垂面中兩交線。兩線垂直同一面，相互平行共伸展。
兩面垂直同一線，一面平行另一面。要讓面與面垂直，面過(guò)另面一垂線。
面面垂直成直角，線面垂直記心間。
一面四線定射影，找出斜射一垂線，線線垂直得巧證，三垂定理風(fēng)采顯。
空間距離和夾角，平行轉(zhuǎn)化在平面，一找二證三構(gòu)造，三角形中求答案。
引進(jìn)向量新工具，計(jì)算證明開新篇�？臻g建系求坐標(biāo)，向量運(yùn)算更簡(jiǎn)便。
知識(shí)創(chuàng)新無(wú)止境，學(xué)問(wèn)思辨勇攀登。
多面體和旋轉(zhuǎn)體，上述內(nèi)容的延續(xù)。扮演載體新角色，位置關(guān)系全在里。
算面積來(lái)求體積，基本公式是依據(jù)。規(guī)則形體用公式，非規(guī)形體靠化歸。
展開分割好辦法，化難為易新天地。
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