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證明線面垂直過(guò)程詳解
在立體幾何的線面關(guān)系中,線面垂直處于核心地位,它是證明線線垂直和面面垂直的紐帶,也是計(jì)算角度、距離、面積、體積的重要環(huán)節(jié)，如何證明線面垂直呢?本文是小編整理如何證明線面垂直的資料，僅供參考。
證明線面垂直過(guò)程
∵PA⊥平面α，直線L∈平面α
∴PA⊥L========================①
∵PB⊥平面β，直線L∈平面β
∴PB⊥L========================②
綜合①②得：
直線L⊥平面PAB(垂直于平面兩條相交直線的直線垂直于這個(gè)平面)
∴L⊥AB(垂直于平面的直線垂直于平面內(nèi)的任一直線)
線面垂直的判定定理證明，我一直覺(jué)得證明過(guò)程太過(guò)復(fù)雜。前年曾經(jīng)這樣證明，今天寫(xiě)在這里。m和n為平面中兩條相交直線，通過(guò)平移或者說(shuō)原本就在，使得l經(jīng)過(guò)m、n的交點(diǎn)O，我們只需證明l垂直與平面中的任意一條直線g 即可!在m、n上分別以O(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)截取AC、BD，則得到平行四邊形ABCD。此時(shí)不難由三角形全等的知識(shí)得到l⊥g。
答案補(bǔ)充
證明：已知直線L1 L22相交于O點(diǎn)且都與直線L垂直，L3是L1 L2所在平面內(nèi)任意1條不與L1 L2重合或平行的直線(重合或平行直接可得它與L1平行) 在L3上取E、F令OE=OF， 分別過(guò)E、F作ED、FB交L2于D、B (令OD=OB)則⊿OED ≌⊿ OFB (SAS) 延長(zhǎng)DE、BF分別交L1于A、C 則⊿OEA≌⊿OFC(ASA)(注意角AEO與角CFO的補(bǔ)角相等所以它們相等)。 所以O(shè)A=OC，所以⊿OAD≌⊿OBC(SAS)所以AD=CB 因?yàn)長(zhǎng)3垂直于L1 L2所以MA=MC，MD=MB 所以⊿MAD≌⊿MCD(SSS)所以 角MAE= 角MCF 所以⊿MAE≌⊿MCF(SAS) 所以ME=MF，所以⊿MOE≌⊿MOF(SSS)，所以角MOE=角MOF 又因?yàn)?角MOE與 角MOF互補(bǔ)，所以角MOE=角MOF=90度，即L⊥L3
1利用直角三角形中兩銳角互余證明
由直角三角形的定義與三角形的'內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90° ，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。
2勾股定理逆定理
3圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。
二、高中部分
線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過(guò)平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。
1向量法 兩條直線的方向向量數(shù)量積為0
2斜率 兩條直線斜率積為-1
3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線
一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊
4三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。
5三垂線定理逆定理 如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。
2高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：
�、�.平行關(guān)系：
線線平行：1.在同一平面內(nèi)無(wú)公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。
線面平行：1.直線與平面無(wú)公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。
面面平行：1.兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。
�、�.垂直關(guān)系：
線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。
線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。
面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過(guò)另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直
線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過(guò)平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。
1向量法 兩條直線的方向向量數(shù)量積為0
2斜率 兩條直線斜率積為-1
3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線
一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊
4三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。
5三垂線定理逆定理 如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。
3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：
證明線面垂直
長(zhǎng)方體中ABCD-A1B1C1D1,AB=BC=4,AA1=8,E.F分別為AD和CC1的中點(diǎn),O1為下底面正方形的'中心 (1)證明:AF垂直于面FD1B1 (2)求異面直線EB與O1F所成角的余弦值
證明:
1)
AB垂直于 面BB1C1C;
所以:BF是AF在 面BB1C1C內(nèi)的射影;
三角形BB1F是以F為頂點(diǎn)的等腰直角三角形;
所以:BF垂直于B1F;
所以:AF垂直于B1F;
同理:AF垂直于D1F;
D1F交B1F等于F;
D1F、B1F包含于 面BB1C1C;
所以:AF垂直于 面BB1C1C。
解:
2)
以D為原點(diǎn)DA為x軸建系;
向量EB =(2,4, 0);
向量FO1=(2,2,-4);
所以:cosθ=√(3/10)
自己也算算哈 :)
什么是線面垂直定理?判定和證明的方法是什么
一條直線和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，稱直線和平面垂直。定義中的關(guān)鍵詞‘任意’，包含平面內(nèi)“每一條直線”“所有直線”的含義，不能將之改成“兩條”或“無(wú)數(shù)條“，因?yàn)檫@數(shù)條直線不可能平行。
只限于平面垂直不是直線與平面的位置關(guān)系的一種，而是直線與平面相交的一種特殊情況。
判定
要判斷一條已知直線和另一個(gè)平面是否垂直，只需要在該平面內(nèi)找出兩條與已知直線垂直即可，至于這兩條直線是否與已知直線有交點(diǎn)，這是無(wú)關(guān)緊要的。
如何證明線線垂直，線面垂直，面面垂直和線線平行，線面平行，面面平行
要證線線垂直可以1，用坐標(biāo)向量法，2，有了坐標(biāo)可以計(jì)算長(zhǎng)度用勾股定理，3，線面垂直可推出線線垂直。
要證線面垂直就證1，這條線與這個(gè)面里的兩條相交直線垂直，2，也可以用向量法，面的法向量與線的'線的向量平行，
面面垂直1，向量法，兩個(gè)面的法向量相乘為零2，一個(gè)平面過(guò)另一平面的垂線，則這兩個(gè)平面相互垂直。
線線平行1，向量法，2.垂直于同一平面的兩條直線平行，3平行于同一直線的兩條直線平行，4一個(gè)平面與另外兩個(gè)平行平面相交,那么兩條交線也平行。
線面平行，1平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個(gè)平面平行，2若一條直線與一個(gè)平面同時(shí)平行于另一個(gè)平面且這條直線不屬于這個(gè)平面，則這條直線與這個(gè)平面平行，3若一條直線與兩平行平面中的一個(gè)平行，則這條直線與另一個(gè)平面平行，4，最好用的還是向量法。
面面平行1，如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。2，如果兩個(gè)平面與同一條直線垂直，那么這兩個(gè)平面平行。3如果兩個(gè)平面與同一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行。
既然是高三了，那就靈活應(yīng)用，最好用的就是向量法。
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