人教版向量法證明正弦定理

　　向量法可以證明很多的數(shù)學(xué)定理的，比如正弦定理就不錯。下面就是百分網(wǎng)小編給大家整理的向量法證明正弦定理內(nèi)容，希望大家喜歡。

　　向量法證明正弦定理 篇1

　　證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

　　任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

　　作直徑BD交⊙O于D. 連接DA.

　　因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

　　因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

　　所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

　　向量法證明正弦定理 篇2

　　如圖1，△ABC為銳角三角形，過點A作單位向量j垂直于向量AC，則j與向量AB的夾角為90°-A，j與向量CB的夾角為90°-C

　　由圖1，AC+CB=AB(向量符號打不出)

　　在向量等式兩邊同乘向量j,得·

　　j·AC+CB=j·AB

　　∴│j││AC│cos90°+│j││CB│cos(90°-C)

　　=│j││AB│cos(90°-A)

　　∴asinC=csinA

　　∴a/sinA=c/sinC

　　同理，過點C作與向量CB垂直的'單位向量j，可得

　　c/sinC=b/sinB

　　∴a/sinA=b/sinB=c/sinC

　　記向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c

　　∴a+b+c=0

　　則i(a+b+c)

　　=i·a+i·b+i·c

　　=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

　　=-asinC+csinA=0

　　向量法證明正弦定理 篇3

　　正弦定理是三角學(xué)中的一個定理。它指出了三角形三邊、三個內(nèi)角以及外接圓半徑之間的關(guān)系。

　　定理內(nèi)容

　　在△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，三角形外接圓的半徑為R。則有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

　　即，在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦之比相等，該比值等于該三角形外接圓的直徑長度。

　　定理變形

　　a:b:c=sinA:sinB:sinC

　　應(yīng)用領(lǐng)域

　　在解三角形中，有以下的應(yīng)用領(lǐng)域：

　�。�1）已知三角形的兩角與一邊，解三角形

　�。�2）已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形

　　（3）運用a：b：c=sinA：sinB：sinC解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系

　　直角三角形的一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個角的正弦。

　　正弦定理變形形式

　　a=2RSinA。b=2RsinB。c=2Rsinc

　　asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA

　　定理的意義

　　正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦值之間的一個關(guān)系式。由正弦定理在區(qū)間上的單調(diào)性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系。

　　一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。

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